سرمایه‌گذاران باید سلامت مالی و عملکرد هر کسب‌وکاری را که قصد سرمایه‌گذاری در آن دارند، به دقت تجزیه و تحلیل کنند. برای این منظور، آن‌ها به چندین صورت مالی مراجعه می‌کنند که نگاهی به عملکرد داخلی سازمان ارائه می‌دهند.

کمتر صورت مالی وجود دارد که مانند گزارش سالانه یک شرکت، هر ساله با انتظار فراوانی روبرو شود. این گزارش نه تنها عملکرد شرکت در سال گذشته را خلاصه می‌کند، بلکه مسیری را برای سال آینده ترسیم می‌کند.

با در نظر گرفتن این موضوع، دانستن نحوه تهیه گزارش سالانه برای هر کسی که به موقعیت‌های رهبری علاقه‌مند است، ضروری است. چه یک کارآفرین مشتاق باشید، چه مدیر ارشد یک بخش، یا عضو تیم اجرایی سازمان خود، یادگیری نحوه تهیه گزارش سالانه می‌تواند به پیشرفت شغلی شما کمک کند.

در اینجا نگاهی به این موضوع داریم که گزارش سالانه چیست، اجزای کلیدی آن کدامند و چه مراحلی را باید برای ایجاد آن دنبال کنید.

کتاب الکترونیکی رایگان: راهنمای مدیران برای امور مالی و حسابداری - امروز به کتاب الکترونیکی رایگان خود دسترسی پیدا کنید.
دانلود کنید

گزارش سالانه چیست؟
گزارش سالانه سندی است که وضعیت مالی و عملیات تجاری یک شرکت را در سال گذشته شرح می‌دهد.

هر کسب‌وکار پذیرفته‌شده در بورس اوراق بهادار موظف است طبق قانون گزارش سالانه تهیه و منتشر کند، که به سرمایه‌گذاران فعلی و بالقوه کمک می‌کند تا تصمیم بگیرند آیا بودجه‌ای را ارائه دهند یا خیر.

کسب‌وکارهایی که به صورت عمومی معامله نمی‌شوند، همچنان می‌توانند گزارش سالانه تهیه کنند، اگر سرمایه‌گذاران خصوصی داشته باشند که باید از عملکرد آن‌ها مطلع شوند یا در حال تأمین سرمایه خصوصی باشند.

اجزای گزارش سالانه
گزارش سالانه معمولاً شامل اسناد یا بخش‌های زیر است:

نامه‌هایی به سهامداران
بحث و تحلیل مدیریت (MD&A)
اطلاعات عمومی شرکت یا پروفایل کسب‌وکار
نکات برجسته عملیاتی و مالی
صورت‌های مالی

معمولاً گزارش سالانه به دو بخش تقسیم می‌شود. بخش اول شامل روایت شرکت به شکل نامه‌هایی به سهامداران، بحث و تحلیل مدیریت، اطلاعات عمومی شرکت و نکات برجسته عملیاتی است - همه این موارد داستانی را در مورد نحوه عملکرد شرکت و تلاش برای دستیابی به اهدافش بیان می‌کنند. بخش دوم گزارش، اجزای روایی را حذف می‌کند و داده‌ها را ارائه می‌دهد که سرمایه‌گذاران تشویق می‌شوند تا آن‌ها را تجزیه و تحلیل کنند و به نتایج مربوط به شرکت برسند.

چگونه گزارش سالانه تهیه کنیم؟
۱. تهیه پروفایل کسب‌وکار
پروفایل کسب‌وکار بخشی از گزارش سالانه است که در آن اطلاعات کلیدی مربوط به کسب‌وکار خود را خلاصه می‌کنید. معمولاً شامل اطلاعاتی در مورد:

محصولات یا خدمات کلیدی شرکت شما
مأموریت و چشم‌انداز شرکت شما
هیئت مدیره و سایر مدیران کسب‌وکار
پروفایل سرمایه‌گذار شما
رقبای شما
فرصت‌ها و خطرات

این بخش گاهی اوقات به عنوان بخش اطلاعات عمومی کسب‌وکار در گزارش سالانه نیز شناخته می‌شود.

هنگام نوشتن این بخش، اهداف خود را به خاطر داشته باشید: ارائه سریع اطلاعات مورد نیاز سرمایه‌گذاران جدید، فعلی یا بالقوه برای درک کسب‌وکار و صنعت شما.

۲. تولید صورت‌های مالی کلیدی
هدف از گزارش سالانه ارائه داده‌ها و تجزیه و تحلیل مربوط به عملیات و عملکرد مالی شرکت شما است. بنابراین، صورت‌های مالی موجود در آن ضروری هستند.

صورت‌های مالی مهم شامل موارد زیر است:

صورت سود و زیان
صورت جریان وجوه نقد
ترازنامه
صورت به سهامداران

در حالی که می‌توانید بخش‌های دیگر گزارش را قبل از تولید صورت‌های مالی تهیه کنید، بهتر است از این کار خودداری کنید، زیرا نامه‌های شما به سهامداران، بحث و تحلیل مدیریت و سایر عناصر روایی باید توسط داده‌های مالی پشتیبانی شوند. عدم ایجاد صورت‌های مالی در ابتدا می‌تواند منجر به ارائه داستانی نادرست یا ناقص شود که بعداً باید آن را اصلاح کنید.

۳. انتخاب نکات برجسته عملیاتی و مالی
پس از تولید صورت‌های مالی، نکات برجسته را برای عناصر روایی گزارش خود انتخاب کنید. ترکیبی از نکات برجسته عملیاتی و مالی را در نظر بگیرید. برخی از مثال‌ها عبارتند از:

راه‌اندازی محصولات یا خدمات جدید
افتتاح تأسیسات جدید
قراردادها یا مشارکت‌های بزرگ
اخبار مربوط به ادغام و تملک
نرخ رشد درآمد
اینکه آیا شرکت در طول سال سودآور بوده است یا زیان کرده است

۴. نوشتن بحث و تحلیل مدیریت
در حالی که صورت‌های مالی موجود در گزارش سالانه به سرمایه‌گذاران و تحلیلگران اجازه می‌دهد تا کسب‌وکار شما را تجزیه و تحلیل کنند، بخش بحث و تحلیل مدیریت به شما و تیمتان این فرصت را می‌دهد تا تجزیه و تحلیل داخلی از عملکرد مالی و صورت‌های مالی را ارائه دهید.

بخش MD&A معمولاً شامل اطلاعاتی در مورد مسائل کلیدی پیش روی شرکت شما، مانند رعایت قوانین یا مقررات، سیستم‌ها و کنترل‌های اخیراً پیاده‌سازی‌شده و خطرات جدید یا در حال ظهور است.

در حالی که بخش MD&A ذهنی‌تر از صورت‌های مالی است، باید استانداردهای تعیین‌شده توسط هیئت استانداردهای حسابداری مالی (FASB) را رعایت کند. این شامل اطمینان از این است که MD&A متعادل، مبتنی بر واقعیت و دارای اطلاعات مثبت و منفی است.

۵. نوشتن نامه به سهامداران
مرحله نهایی نوشتن نامه به سهامداران است. این نامه توسط مدیرعامل، رئیس یا صاحب شرکت تهیه می‌شود و نمای کلی سطح بالایی از فعالیت‌های عملیاتی و مالی کسب‌وکار را در سال گذشته ارائه می‌دهد.

نامه به سهامداران در نهایت به عنوان مقدمه‌ای برای کل گزارش سالانه عمل می‌کند و اولین اطلاعاتی است که سرمایه‌گذاران بررسی می‌کنند. در حالی که هر جزء از گزارش سالانه ضروری است، نامه به سهامداران یکی از مهم‌ترین بخش‌هایی است که باید به درستی انجام شود.

یکی از مهم‌ترین اسناد مالی
گزارش سالانه یکی از مهم‌ترین اسناد مالی است که شرکت شما تولید می‌کند.

در حالی که انجام این کار معمولاً تلاشی تیمی است که شامل چندین بخش می‌شود، دانستن آنچه در تهیه آن دخیل است، مهارتی حیاتی برای رهبران و کارآفرینان تجاری مشتاق است.

آیا می‌خواهید شغلی خود را به سطح بعدی ببرید؟ در نظر بگیرید که در حسابداری مالی - یکی از سه دوره تشکیل‌دهنده برنامه آمادگی اعتبار (CORe) ما - ثبت‌نام کنید و کشف کنید که چگونه می‌توانید موضوعات مالی کلیدی را یاد بگیرید که به شما امکان می‌دهد عملکرد و پتانسیل کسب‌وکار را درک کنید.


گزارش سالانه سندی است که مروری دقیق بر عملکرد مالی، عملیات و فعالیت‌های یک شرکت در طول یک سال ارائه می‌دهد.

گزارش سالانه چیست؟
در اینجا اجزای کلیدی یک گزارش سالانه آورده شده است:

صورت‌های مالی: اینها سلامت مالی شرکت از جمله درآمد، هزینه‌ها، دارایی‌ها، بدهی‌ها و حقوق صاحبان سهام را نشان می‌دهند.
بحث و تحلیل مدیریت (MD&A): این بخش توسط مدیریت شرکت نوشته شده و بینشی در مورد نتایج مالی، روندها، چالش‌ها و برنامه‌های آینده ارائه می‌دهد.
بررسی کسب و کار: این بخش نگاهی عمیق به عملیات شرکت دارد. ممکن است صنعت، محصولات یا خدمات، روند بازار، رقابت و ابتکارات استراتژیک آن را پوشش دهد.
حاکمیت شرکتی: این بخش ساختار، سیاست‌ها و رویه‌های شرکت را که فرآیندهای تصمیم‌گیری آن را هدایت می‌کنند، شرح می‌دهد.
گزارش حسابرس: این یک ارزیابی خارجی از دقت و منصفانه بودن صورت‌های مالی است.
نامه به سهامداران: این نامه که اغلب توسط مدیرعامل یا رئیس هیئت مدیره نوشته می‌شود، خلاصه‌ای از عملکرد شرکت، برجسته کردن دستاوردهای کلیدی و تشریح جهت‌گیری استراتژیک را ارائه می‌دهد.
پایداری و مسئولیت اجتماعی شرکتی (CSR): بخشی در مورد تلاش‌های شرکت مربوط به پایداری زیست محیطی، مسئولیت اجتماعی و شهروندی شرکتی.
عملکرد بازار و اطلاعات سهام: این بخش شامل داده‌هایی در مورد عملکرد سهام شرکت، حجم معاملات و سایر داده‌های مرتبط با بازار است.
تصاویر و نمودارها: گزارش‌های سالانه اغلب از نمودارها، گراف‌ها و تصاویر برای نشان دادن نکات کلیدی استفاده می‌کنند.
یادداشت‌ها و افشا: ارائه زمینه اضافی در مورد ارقام و رویه‌های مالی خاص، از جمله روش‌های حسابداری و بدهی‌ها.

گزارش‌های سالانه اهداف متعددی را دنبال می‌کنند. آنها سهامداران و سرمایه‌گذاران بالقوه را در مورد سلامت مالی و عملکرد شرکت آگاه می‌کنند. آنها همچنین به عنوان ابزاری برای ارتباط با ذینفعان، از جمله کارکنان، تامین کنندگان، مشتریان و مقامات نظارتی عمل می‌کنند. علاوه بر این، آنها سابقه تاریخی را ارائه می‌دهند که می‌تواند برای مقایسه و تجزیه و تحلیل در سال‌های بعد استفاده شود.

مثالی از یک گزارش سالانه
بیایید به عنوان مثال یک گزارش سالانه برای یک شرکت شناخته شده، XYZ Technologies را در نظر بگیریم که سال مالی منتهی به 31 دسامبر 2023 را پوشش می‌دهد:

صفحه روی جلد:

گزارش سالانه XYZ Technologies دارای لوگو، نام شرکت و طراحی مدرن است. صفحه روی جلد ممکن است یک شعار یا موضوع برای سال، مانند "نوآوری در آینده" را شامل شود.

نامه به سهامداران:

مدیرعامل XYZ Technologies در نامه‌ای به سهامداران، دستاوردهای کلیدی، چالش‌ها و چشم‌انداز استراتژیک برای آینده را برجسته می‌کند. در این نامه از سهامداران برای حمایتشان قدردانی شده است.

بررسی کسب و کار:

XYZ Technologies در بخش فناوری فعالیت می‌کند و راه حل‌های نرم‌افزاری پیشرفته‌ای را ارائه می‌دهد. بخش بررسی کسب و کار، حوزه‌های تمرکز، خطوط اصلی محصول و حضور در بازار شرکت را شرح می‌دهد.

نکات برجسته مالی:

این بخش شامل معیارهای مالی کلیدی برای سال، مانند درآمد کل، سود خالص، سود هر سهم و هرگونه دستاورد قابل توجه است. به عنوان مثال، XYZ Technologies به رشد 15 درصدی درآمد نسبت به سال قبل دست یافته است.

بحث و تحلیل مدیریت (MD&A):

بخش MD&A به عملکرد مالی شرکت، روند بازار و ابتکارات استراتژیک می‌پردازد. XYZ Technologies در مورد پرتاب موفقیت‌آمیز محصولات، گسترش به بازارهای جدید و چالش‌های بالقوه در صنعت بحث می‌کند.

صورت‌های مالی:

صورت‌های مالی، ترازنامه، صورت سود و زیان و صورت جریان وجوه نقد XYZ Technologies را برای سال مالی نشان می‌دهد. ترازنامه نقدینگی سالم، صورت سود و زیان سودآوری و صورت جریان وجوه نقد تولید قوی وجه نقد عملیاتی را نشان می‌دهد.

حاکمیت شرکتی:

XYZ Technologies بر تعهد خود به حاکمیت شرکتی تأکید می‌کند و ساختار هیئت مدیره، اصول حاکمیتی و هرگونه تغییر یا الحاق به هیئت مدیره در طول سال را نشان می‌دهد.

گزارش پایداری یا مسئولیت اجتماعی شرکتی (CSR):

این گزارش تلاش‌های XYZ Technologies در زمینه پایداری زیست محیطی، مسئولیت اجتماعی و اخلاق شرکتی را برجسته می‌کند. این می‌تواند شامل ابتکاراتی برای کاهش ردپای کربن شرکت، حمایت از جوامع محلی و برنامه‌های تنوع و فراگیری باشد.

گزارش حسابرس:

گزارش حسابرس که توسط یک شرکت حسابرسی مستقل ارائه شده است، به سهامداران اطمینان می‌دهد که صورت‌های مالی به طور منصفانه و مطابق با استانداردهای حسابداری ارائه شده‌اند.


به عنوان یک متخصص حرفه‌ای، صاحب کسب‌وکار، کارآفرین یا سرمایه‌گذار، دانستن نحوه خواندن و تحلیل داده‌های صورت سود و زیان – یکی از مهم‌ترین اسناد مالی که شرکت‌ها تولید می‌کنند – یک مهارت حیاتی است.

این درک، علاوه بر کمک به تعیین وضعیت مالی فعلی شرکت شما، می‌تواند به شما در پیش‌بینی فرصت‌های آینده، تصمیم‌گیری در مورد استراتژی کسب‌وکار و ایجاد اهداف معنادار برای تیم‌تان کمک کند.

اگر پیشینه‌ای در زمینه مالی یا حسابداری ندارید، ممکن است درک مفاهیم پیچیده موجود در اسناد مالی دشوار به نظر برسد. اما اختصاص دادن زمان برای یادگیری در مورد صورت‌های مالی، مانند صورت سود و زیان، می‌تواند به پیشرفت شغلی شما کمک شایانی کند.

برای کمک به شما در توسعه این درک، در اینجا توضیحی از همه چیزهایی که باید در مورد صورت‌های سود و زیان بدانید – ماهیت آن‌ها، اهمیت آن‌ها و نحوه تحلیل آن‌ها – ارائه شده است تا بتوانید حداکثر ارزش را از این اسناد به دست آورید.

کتاب الکترونیکی رایگان: راهنمای مدیران برای امور مالی و حسابداری. امروز به کتاب الکترونیکی رایگان خود دسترسی پیدا کنید.
همین حالا دانلود کنید

صورت سود و زیان چیست؟
صورت سود و زیان یکی از رایج‌ترین و مهم‌ترین صورت‌های مالی است که احتمالاً با آن مواجه خواهید شد.
صورت‌های سود و زیان که به عنوان صورت‌های سود و زیان (P&L) نیز شناخته می‌شوند، تمام درآمد و هزینه‌ها را در یک دوره زمانی معین، از جمله تأثیر تجمعی معاملات درآمد، سود، هزینه و زیان، خلاصه می‌کنند. صورت‌های سود و زیان اغلب به صورت گزارش‌های فصلی و سالانه به اشتراک گذاشته می‌شوند و روندهای مالی و مقایسه‌ها را در طول زمان نشان می‌دهند.

صورت سود و زیان در مقابل ترازنامه
در حالی که تعریف صورت سود و زیان ممکن است شما را به یاد ترازنامه بیندازد، این دو سند برای اهداف مختلف طراحی شده‌اند. صورت سود و زیان درآمد و هزینه‌ها را جمع‌بندی می‌کند؛ در حالی که ترازنامه دارایی‌ها، بدهی‌ها و حقوق صاحبان سهام را ثبت می‌کند.

مرتبط: ترازنامه 101: چه چیزی در ترازنامه وجود دارد؟

هدف از صورت سود و زیان چیست؟
هدف از صورت سود و زیان نشان دادن عملکرد مالی یک شرکت در یک دوره زمانی معین است. این سند داستان مالی فعالیت‌های عملیاتی یک کسب‌وکار را بیان می‌کند.

در یک صورت سود و زیان، تمام حساب‌های درآمد و هزینه برای یک دوره زمانی مشخص را خواهید یافت. حسابداران صورت‌های سود و زیان را با استفاده از ترازهای آزمایشی از هر دو نقطه زمانی ایجاد می‌کنند.

از صورت سود و زیان و سایر اسناد مالی، مانند صورت جریان وجوه نقد، ترازنامه و گزارش سالانه، می‌توانید تعیین کنید که آیا کسب‌وکار سودآور است یا خیر؛ آیا بیشتر از درآمد خود هزینه می‌کند یا خیر؛ هزینه‌ها در بالاترین و پایین‌ترین زمان‌ها چه زمانی هستند؛ چه مقدار برای تولید محصول خود پرداخت می‌کند؛ و آیا پول نقد کافی برای سرمایه‌گذاری مجدد در کسب‌وکار دارد یا خیر.

حسابداران، سرمایه‌گذاران و صاحبان کسب‌وکار به طور منظم صورت‌های سود و زیان را بررسی می‌کنند تا درک کنند که یک کسب‌وکار نسبت به عملکرد مورد انتظار آینده خود چقدر خوب عمل می‌کند و از این درک برای تنظیم اقدامات خود استفاده می‌کنند. به عنوان مثال، یک صاحب کسب‌وکاری که شرکتش به اهداف خود نمی‌رسد، ممکن است استراتژی را تغییر دهد تا در فصل بعدی بهبود یابد. به طور مشابه، یک سرمایه‌گذار ممکن است تصمیم بگیرد یک سرمایه‌گذاری را بفروشد تا در شرکتی سرمایه‌گذاری کند که به اهداف خود می‌رسد یا از آن‌ها پیشی می‌گیرد.

چه چیزی در یک صورت سود و زیان وجود دارد؟
در حالی که تمام داده‌های مالی به ترسیم تصویری از سلامت مالی یک شرکت کمک می‌کنند، صورت سود و زیان یکی از مهم‌ترین اسنادی است که تیم رهبری یک شرکت و سرمایه‌گذاران فردی می‌توانند بررسی کنند، زیرا شامل تفکیک دقیق درآمد و هزینه‌ها در طول یک دوره گزارش‌دهی است. این شامل:

درآمد: مبلغ پولی که یک کسب‌وکار در یک دوره گزارش‌دهی به دست می‌آورد
هزینه‌ها: مبلغ پولی که یک کسب‌وکار در یک دوره گزارش‌دهی هزینه می‌کند
بهای تمام شده کالای فروش رفته (COGS): هزینه قطعات تشکیل‌دهنده آنچه برای فروش یک کسب‌وکار لازم است
سود ناخالص: کل درآمد منهای بهای تمام شده کالای فروش رفته
سود عملیاتی: سود ناخالص منهای هزینه‌های عملیاتی
درآمد قبل از مالیات: سود عملیاتی منهای هزینه‌های غیرعملیاتی
سود خالص: درآمد قبل از مالیات منهای مالیات
سود هر سهم (EPS): تقسیم سود خالص بر تعداد کل سهام در گردش
استهلاک: میزان کاهش ارزش دارایی‌ها (به عنوان مثال، تجهیزات قدیمی) در طول زمان
EBITDA: سود قبل از بهره، استهلاک، مالیات و استهلاک

این "باکت‌ها" ممکن است بسته به سیاست یک شرکت و جزئیات صورت سود و زیان، به موارد جزئی‌تری تقسیم شوند. به عنوان مثال، درآمد اغلب بر اساس خط محصول یا بخش شرکت تفکیک می‌شود، در حالی که هزینه‌ها ممکن است به هزینه‌های خرید، دستمزد، اجاره و بهره پرداختی بدهی تقسیم شوند.

تحلیل صورت سود و زیان
دو روش معمول برای خواندن و تحلیل اسناد مالی یک سازمان وجود دارد: تحلیل عمودی و تحلیل افقی. تفاوت بین این دو در نحوه خواندن یک صورت و مقایسه‌هایی است که می‌توانید از هر نوع تحلیل انجام دهید.

تحلیل عمودی
تحلیل عمودی به روش تحلیل مالی اشاره دارد که در آن هر مورد در صورت به صورت درصدی از یک رقم پایه در صورت فهرست می‌شود. این بدان معناست که موارد در صورت‌های سود و زیان به صورت درصد از فروش ناخالص، به جای مبالغ دقیق پول، مانند دلار، بیان می‌شوند.

به طور خلاصه، این فرآیند خواندن یک ستون از داده‌ها در یک صورت مالی است و تعیین نحوه ارتباط موارد فردی با یکدیگر (به عنوان مثال، نشان دادن اندازه نسبی هزینه‌های مختلف، زیرا موارد ممکن است به صورت درصدی از هزینه‌های عملیاتی فهرست شوند).

این نوع تحلیل، مقایسه صورت‌های مالی در طول دوره‌ها و صنایع و بین شرکت‌ها را آسان می‌کند، زیرا می‌توانید نسبت‌های نسبی را ببینید. همچنین به شما کمک می‌کند تا تجزیه و تحلیل کنید که آیا معیارهای عملکرد در حال بهبود هستند یا خیر.

تحلیل عمودی همیشه به اندازه تحلیل افقی مفید نیست، اما می‌تواند به شما کمک کند تا تعیین کنید چه سوالاتی باید پرسیده شوند، مانند: هزینه‌ها چه زمانی افزایش یا کاهش یافته‌اند؟ کدام موارد بیشترین سهم را در حاشیه سود دارند؟ چگونه در طول زمان تحت تأثیر قرار می‌گیرند؟

تحلیل افقی
در حالی که تحلیل عمودی بر هر مورد به عنوان درصدی از یک رقم پایه در یک دوره فعلی تمرکز دارد، تحلیل افقی تغییرات در مبالغ دلاری در صورت‌های مالی یک شرکت را در طول چندین دوره گزارش‌دهی بررسی و مقایسه می‌کند. این اغلب در مقایسه‌های مطلق استفاده می‌شود، اما می‌توان به صورت درصد نیز استفاده کرد.

تحلیل افقی داده‌های مالی و گزارش‌دهی را مطابق با اصول پذیرفته شده حسابداری (GAAP) سازگار می‌کند. این امر بررسی ثبات یک شرکت در طول زمان و همچنین رشد آن در مقایسه با رقبا را بهبود می‌بخشد.

به همین دلیل، تحلیل افقی برای سرمایه‌گذاران و تحلیل‌گران مهم است. با انجام یک تحلیل افقی، می‌توانید بفهمید چه چیزی عملکرد مالی یک سازمان را در طول سال‌ها هدایت کرده است و روندها و الگوهای رشد را، مورد به مورد، شناسایی کنید. در نهایت، تحلیل افقی برای شناسایی روندها در طول زمان استفاده می‌شود - مقایسه‌هایی از سه ماهه اول تا سه ماهه دوم، به عنوان مثال - به جای آشکار کردن نحوه ارتباط موارد فردی با یکدیگر.

مرتبط: GAAP در مقابل IFRS: تفاوت‌های کلیدی چیست و کدام یک را باید استفاده کنید؟

مورد هر دو
سوال این نیست که آیا باید از تحلیل عمودی یا افقی هنگام ارزیابی صورت‌های سود و زیان استفاده کنید. در عوض، این است: چگونه می‌توانید بهترین استفاده را از هر دو شکل تحلیل برای کشف اطلاعاتی که برای تصمیم‌گیری آگاهانه نیاز دارید، ببرید؟ استفاده از هر دو تکنیک می‌تواند بینش بیشتری را نسبت به تکیه بر یکی ارائه دهد.

مثال صورت سود و زیان
در اینجا نمونه‌ای از یک صورت سود و زیان از یک شرکت فرضی برای سال منتهی به 28 سپتامبر 2019 وجود دارد.

به نسخه جایگزین بروید.
این صورت سود و زیان نشان می‌دهد که شرکت از طریق فروش 4.358 میلیارد دلار درآمد کسب کرده است و هزینه دستیابی به این فروش تقریباً 2.738 میلیارد دلار بوده است که سود ناخالص 1.619 میلیارد دلار است.

560 میلیون دلار هزینه‌های فروش و عملیاتی و 293 میلیون دلار هزینه‌های عمومی و اداری از این سود کسر شد و سود عملیاتی 765 میلیون دلار باقی ماند. سپس، درآمدهای اضافی اضافه شد و زیان‌ها کسر شد، از جمله 257 میلیون دلار مالیات بر درآمد.

نتیجه نهایی این است که شرکت برای سال 483 میلیون دلار سود خالص داشته است.

اهمیت صورت سود و زیان
در کنار صورت جریان وجوه نقد، ترازنامه و گزارش سالانه، صورت‌های سود و زیان به رهبران شرکت، تحلیل‌گران و سرمایه‌گذاران کمک می‌کند تا تصویر کاملی از نتایج عملیاتی یک کسب‌وکار را درک کنند تا بتوانند ارزش و کارایی آن را تعیین کنند و در حالت ایده‌آل، مسیر آینده آن را پیش‌بینی کنند.

تحلیل مالی یک صورت سود و زیان می‌تواند نشان دهد که بهای تمام شده کالای فروش رفته در حال کاهش است یا فروش در حال بهبود است، در حالی که بازده حقوق صاحبان سهام در حال افزایش است. صورت‌های سود و زیان نیز به دقت بررسی می‌شوند زمانی که یک کسب‌وکار می‌خواهد هزینه‌ها را کاهش دهد یا استراتژی‌هایی را برای رشد تعیین کند.

یادگیری نحوه خواندن و درک یک صورت سود و زیان می‌تواند به شما امکان دهد تصمیمات آگاهانه‌تری در مورد یک شرکت بگیرید، چه شرکت خودتان، چه کارفرمای خودتان یا یک سرمایه‌گذاری بالقوه.

آیا می‌خواهید شغلی خود را به سطح بعدی ارتقا دهید؟ در نظر بگیرید که در حسابداری مالی یا سایر دوره‌های آنلاین مالی و حسابداری ما ثبت‌نام کنید، که می‌تواند موضوعات مالی کلیدی را که برای درک عملکرد کسب‌وکار و پتانسیل آن نیاز دارید، به شما آموزش دهد. نمودار دوره رایگان ما را دانلود کنید تا تعیین کنید کدام یک با اهداف شما مطابقت دارد.

_این پست در 3 آوریل 2023 به‌روزرسانی شد. در اصل در 28 مه 2020 منتشر شده بود._

جداول داده
صورت سود و زیان شرکت B
برای سال منتهی به 28 سپتامبر 2019 (به هزاران)
| فعالیت | مبلغ |
| --- | --- |
| فروش خالص | 4,358,100 |
| بهای تمام شده فروش | 2,738,714 |
| سود ناخالص | 1,619,386 |
| هزینه‌های فروش و عملیاتی | 560,430 |
| هزینه‌های عمومی و اداری | 293,729 |
|  هزینه‌های عملیاتی کل | 854,159 |
| سود عملیاتی | 765,227 |
| سایر درآمدها | 960 |
| سود (زیان) حاصل از ابزارهای مالی | 5,513 |
| (زیان) سود حاصل از ارز خارجی | (12,649) |
| هزینه بهره | (18,177) |
| درآمد قبل از مالیات | 740,874 |
| هزینه مالیات بر درآمد | 257,642 |
| سود خالص | 483,232 |
به مقاله برگردید.


سلام! 👋
از سان فرانسیسکو با شما در ارتباط هستیم!
به اعضای جدیدی که این هفته به ما پیوستند خوش آمد می‌گوییم!
به کامیونیتی پرطرفدار How They Make Money بپیوندید تا هر هفته بینش‌هایی در مورد کسب‌وکار و سرمایه‌گذاری دریافت کنید.
چندین عضو از کامیونیتی درخواست توضیح در مورد اصطلاحات مالی پایه را داشته‌اند.
بنابراین، یک سری جدید و مستمر با عنوان 💡 How To Analyze را آغاز می‌کنم.
هنگامی که در مورد مفاهیم مالی خاص مطمئن نیستید یا می‌خواهید مرور کنید، می‌توانید به این مقالات مراجعه کنید. با گذشت زمان، موضوعات پیچیده‌تری را پوشش خواهم داد و آن‌ها را به زبان ساده توضیح خواهم داد.
به قسمت اول از مینی‌سری سه قسمتی ما در مورد سه صورت مالی اصلی که هر صاحب کسب‌وکار یا سرمایه‌گذار باید بداند خوش آمدید:

صورت سود و زیان (درآمد و هزینه): درآمد و هزینه‌های یک شرکت را در یک دوره زمانی خاص نشان می‌دهد که منجر به سود یا زیان خالص می‌شود.
ترازنامه: دارایی‌ها، بدهی‌ها و حقوق صاحبان سهام یک شرکت را در یک نقطه زمانی خاص نشان می‌دهد. این یک تصویر لحظه‌ای در پایان یک دوره است.
صورت جریان وجوه نقد: نشان می‌دهد که چگونه فعالیت‌های یک شرکت بر موقعیت نقدی آن در یک دوره زمانی خاص تأثیر گذاشته است.

این سه سند مانند تثلیث مقدس مالی هستند و درک آن‌ها برای تصمیم‌گیری آگاهانه در مورد یک شرکت بسیار مهم است.
در این سری، هر یک از صورت‌های مالی را تجزیه و تحلیل می‌کنیم و توضیح می‌دهیم که موضوع چیست. از مثال‌ها و تصاویر برای اطمینان از اینکه در حین مطالعه به خواب نمی‌روید، استفاده خواهیم کرد.
مقالات دیگر این سری را می‌توانید در وب‌سایت ما پیدا کنید:

نحوه تجزیه و تحلیل ترازنامه.
نحوه تجزیه و تحلیل صورت جریان وجوه نقد.

اول از همه، امروز در مورد صورت سود و زیان، که به عنوان صورت سود و زیان یا P&L نیز شناخته می‌شود، صحبت خواهیم کرد. این سند عملکرد مالی یک شرکت را در یک دوره زمانی خاص، معمولاً یک سال یا یک فصل، نشان می‌دهد. P&L به شما نشان می‌دهد که شرکت چقدر پول به دست آورده، چقدر هزینه کرده و چقدر به عنوان سود نگه داشته است.
همه چیز مهمی که باید بدانید را مرور خواهیم کرد:

موارد موجود در P&L: درآمد، هزینه‌ها، سود خالص.
نسبت‌های کلیدی: حاشیه سود و سود هر سهم (EPS).
انواع تجزیه و تحلیل: نقاط عطف، مقایسه در طول زمان و معیارهای غیر GAAP.

پس یک فنجان قهوه (یا هر نوشیدنی مورد علاقه خود) بردارید و شروع کنیم!
اگر فرمت ویدئویی را ترجیح می‌دهید، ما به تازگی یک سری ویدیویی جدید را در کانال یوتیوب How They Make Money راه‌اندازی کرده‌ایم! ما تمام صورت‌های مالی را از ابتدا پوشش خواهیم داد.
در اینجا قسمت اول آن وجود دارد که در آن در مورد P&L اپل صحبت می‌کنیم.
برای اطمینان از اینکه قسمت‌های بعدی را که به صورت هفتگی منتشر می‌شوند از دست ندهید، مشترک شوید.
یادآوری سریع - گزارش بصری درآمد ماهانه به تازگی منتشر شده است!
اگر از انتشار آن جا مانده‌اید، هنوز هم فرصت دارید تا اشتراک خود را ارتقا دهید و به تمام گزارش‌های درآمد دسترسی کامل داشته باشید. آن‌ها بینش‌های ارزشمندی در مورد عملکرد مالی اخیر شرکت‌های پیشرو در صنایع مختلف ارائه می‌دهند. برای دسترسی کامل، به پایین صفحه مراجعه کنید. 👇

در اینجا جنبه‌های کلیدی صورت سود و زیان که باید بدانید آورده شده است:

درآمد: درآمد را به عنوان پولی در نظر بگیرید که وارد در می‌شود.
هزینه‌ها: هزینه‌ها را به عنوان پولی در نظر بگیرید که از در خارج می‌شود.
سود خالص: سود شرکت با کسر هزینه‌ها از درآمد محاسبه می‌شود. این پولی است که پس از پرداخت همه چیز باقی می‌ماند.

ساده است، درست است؟ P&L مجموعه‌ای از اضافات و کسورات است.
من دوست دارم از تصاویر برای کمک به درک صورت‌های مالی استفاده کنم. بنابراین به عنوان مثال، از بزرگترین شرکت جهان، اپل (AAPL) با استفاده از عملکرد آن برای 12 ماه منتهی به سپتامبر 2022، که سال مالی 2022 یا "FY22" آن‌ها بود، استفاده می‌کنیم.

صورت سود و زیان FY22 اپل - نمودار توسط App Economy Insights

درآمد: به رنگ خاکستری، پولی را که از فروش محصولات (آیفون، مک‌بوک، آی‌پد، ساعت‌ها، ایرپادها) یا خدمات (اشتراک‌های دیجیتال، درآمد فروشگاه برنامه، کارمزد تراکنش و غیره) به دست آمده است، نشان می‌دهم.
هزینه‌ها: به رنگ قرمز، هزینه‌هایی را که برای ایجاد درآمد متحمل شده است، نشان می‌دهم. در ثانیه‌های آینده به آن‌ها به تفصیل خواهیم پرداخت.
سود/درآمد: به رنگ سبز، هر آنچه که پس از کسر هزینه‌ها باقی می‌ماند را نشان می‌دهم. همه P&Lها یکسان نیستند. برخی جزئیات بیشتری ارائه می‌دهند و برخی جزئیات کمتری. علاوه بر این، برخی از صنایع اعداد خود را به روش‌های مختلف گزارش می‌کنند (مانند بانک‌ها یا شرکت‌های بیمه). P&L اپل رایج‌ترین فرمت است.

در اینجا ساختار یک P&L استاندارد آمده است:

ساختار P&L توسط App Economy Insights
به دلیل نحوه ساختار P&L، تحلیلگران اغلب به درآمد به عنوان "خط بالا" و به سود خالص به عنوان "خط پایین" اشاره می‌کنند. این بر اساس جایی است که در صورت سود و زیان ظاهر می‌شوند.
اکنون که اصول اولیه را معرفی کردیم، بیایید عمیق‌تر به نحوه خواندن صورت سود و زیان بپردازیم. قول می‌دهم ترسناک نیست.
درآمد نبض حیات هر کسب‌وکاری است. بدون درآمد، شرکتی نمی‌تواند پول در بیاورد و زنده بماند.
چندین راه مختلف وجود دارد که شرکت‌ها می‌توانند درآمد کسب کنند، از جمله:

فروش کالا: زمانی که یک شرکت یک محصول فیزیکی را به مشتری می‌فروشد (مانند آیفون برای اپل یا قهوه برای استارباکس).
فروش خدمات: زمانی که یک شرکت خدماتی را به مشتری ارائه می‌دهد، مانند مشاوره یا تعمیرات.
حق امتیاز: زمانی که یک شرکت برای اجازه دادن به شخص دیگری برای استفاده از مالکیت معنوی خود، مانند حق اختراع یا علامت تجاری، هزینه دریافت می‌کند.

درک ماهیت درآمد بسیار مهم است:

آیا درآمد تکراری است (به عنوان مثال، یک سرویس اشتراکی مانند نتفلیکس)؟
آیا شرکت هر سال از ابتدا شروع به ایجاد درآمد می‌کند (به عنوان مثال، یک خرده‌فروش مانند تارگت یا یک خط هوایی مانند دلتا ایرلاینز)؟

رشد درآمد در طول زمان جنبه مهمی است که باید در نظر گرفته شود. بسیاری از سرمایه‌گذاران افسانه‌ای مانند پیتر لینچ یا ری دالیو تأکید می‌کنند که چگونه به دنبال رشد پایدار و پایدار درآمد در طول سال‌ها هستند.
یک دوره همیشه تحت تأثیر عوامل موقتی قرار دارد:

هنگامی که مثبت باشد، این عوامل "باد مساعد" نامیده می‌شوند.
هنگامی که منفی باشد، این عوامل "باد مخالف" نامیده می‌شوند.

به طور خلاصه، پیشرفت با باد پشت سر آسان‌تر است.
به طور کلی، سرمایه‌گذاران باید جریان‌های درآمدی یک شرکت و عملکرد آن‌ها را درک کنند. رشد قوی درآمد معمولاً نشانه خوبی است، در حالی که کاهش درآمد می‌تواند نگران‌کننده باشد. با این حال، درک پیامدهای کوتاه‌مدت و بلندمدت و قرار دادن همه چیز در متن بسیار مهم است.
هزینه‌ها هزینه‌هایی هستند که یک شرکت برای ایجاد درآمد متحمل می‌شود. به عبارت دیگر، پولی است که یک شرکت برای به دست آوردن پول خرج می‌کند. هزینه‌ها می‌تواند شامل همه چیز از حقوق کارکنان گرفته تا اجاره باشد.
چندین نوع هزینه وجود دارد که در صورت سود و زیان مشاهده خواهید کرد، از جمله:

بهای تمام شده کالای فروش رفته (COGS): هزینه مستقیم تولید یک محصول یا ارائه یک سرویس. به عنوان مثال، اگر شما یک تولید کننده خودرو مانند تسلا (TSLA) هستید، COGS شما ممکن است شامل هزینه مواد اولیه، نیروی کار و تحویل باشد. این هزینه‌های متغیری هستند که مستقیماً با درآمد افزایش می‌یابند.
هزینه‌های عملیاتی (OPEX): این هزینه‌های غیرمستقیم مرتبط با فعالیت‌های روزمره یک شرکت، مانند حقوق، اجاره، آب و برق و لوازم هستند، از جمله:

فروش و بازاریابی (S&M): تیم‌های فروش و بازاریابی، هزینه‌های تبلیغات، رویدادها، کنفرانس‌ها و غیره.
تحقیق و توسعه (R&D): تیم‌های مهندسی و فنی مسئول توسعه محصولات جدید یا بهبود محصولات موجود.
عمومی و اداری (G&A): هزینه‌هایی که برای اداره کسب‌وکار، مانند اجاره، آب و برق، امور مالی و پرسنل منابع انسانی، متحمل می‌شود.
استهلاک و فرسایش (D&A): این هزینه‌های غیرنقدی هستند که یک شرکت از استفاده از دارایی‌های بلندمدت، مانند ساختمان‌ها یا تجهیزات، متحمل می‌شود.

استهلاک: این روشی برای تخصیص هزینه یک دارایی ملموس در طول عمر مفید آن است. به عنوان مثال، اگر یک شرکت یک دستگاه 50000 دلاری بخرد که انتظار می‌رود 5 سال دوام بیاورد، یک هزینه استهلاک 10000 دلاری در سال به مدت 5 سال ثبت می‌کند.
فرسایش: این روشی برای تخصیص هزینه یک دارایی ناملموس در طول عمر مفید آن است. به عنوان مثال، اگر یک شرکت حق اختراعی به ارزش 50000 دلار بخرد که انتظار می‌رود 5 سال دوام بیاورد، یک هزینه فرسایش 10000 دلاری در سال به مدت 5 سال ثبت می‌کند.

استهلاک و فرسایش هزینه‌های غیرنقدی نامیده می‌شوند زیرا پول برای خرید اولیه (50000 دلار در مثال‌های بالا) خرج شده است. هزینه در طول عمر مفید دارایی پخش می‌شود، نه اینکه همه در یک زمان هنگام پرداخت پرداخت شود.
در موارد خاص، هزینه‌های استهلاک و فرسایش در COGS بر اساس ماهیت آن‌ها گنجانده می‌شوند (به عنوان مثال، اگر دارایی مستهلک برای تولید کالاهای فروخته شده مورد نیاز باشد).
سرمایه‌گذاران باید به هزینه‌های یک شرکت توجه زیادی داشته باشند. ما می‌خواهیم سابقه کنترل هزینه‌ها و حفظ ساختار هزینه کم‌چرب را ببینیم.
سود خالص مبلغی است که پس از کسر تمام هزینه‌های یک شرکت از درآمد آن باقی می‌ماند. به عبارت دیگر، سودی است که یک شرکت به دست می‌آورد. با این حال، اگر هزینه‌ها از درآمد بیشتر باشد، می‌تواند زیان خالص باشد.
سود خالص یک شاخص خوب از میزان پولی است که شرکت برای پرداخت سود سهام به سهامداران یا سرمایه‌گذاری مجدد در کسب‌وکار باقی می‌ماند.
دو راه وجود دارد که یک شرکت می‌تواند سود خالص خود را افزایش دهد:

افزایش درآمد: این کار را می‌توان با راه‌اندازی محصولات یا خدمات جدید، فروش بیشتر محصولات موجود یا افزایش قیمت‌ها انجام داد.
کاهش هزینه‌ها: این کار را می‌توان با یافتن راه‌هایی برای صرفه‌جویی در پول، مانند کاهش هزینه‌های غیرضروری یا مذاکره در مورد معاملات بهتر با تامین‌کنندگان انجام داد.

نگاه کردن به سود خالص برای یک دوره خاص می‌تواند بسیار گمراه‌کننده باشد، بنابراین بسیار مهم است که بزرگنمایی کنید:

آیا هزینه غیرتکراری وجود داشت که سودآوری را بدتر نشان دهد؟
آیا مدیریت به طور تهاجمی در حال سرمایه‌گذاری مجدد در ابتکارات رشد آینده است؟
آیا شرکت بالغ و برای سودآوری بهینه شده است یا هنوز در مراحل اولیه خود قرار دارد؟

صورت سود و زیان حاوی انبوهی از اطلاعات است، اما نمی‌توان آن را بدون زمینه مناسب تجزیه و تحلیل کرد. بنابراین، ما قصد داریم نحوه کسب بینش بیشتر را بررسی کنیم.
برای جمع‌بندی این بخش، مثالی از نحوه ظاهر شدن صورت سود و زیان هنگام باز کردن گزارش سالانه (10-K) یا سه ماهه (10-Q) آورده شده است. این صورت سود و زیان مایکروسافت برای فصل منتهی به سپتامبر 2022 است. همچنین فصل منتهی به سپتامبر 2021 را به عنوان مقایسه نشان می‌دهد.

صورت سود و زیان مایکروسافت - فصل منتهی به سپتامبر 2022
خوب، تمام شد! شما به انتهای راهنمای صورت سود و زیان رسیدید. امیدواریم از یادگیری در مورد صورت سود و زیان و نحوه خواندن آن مانند یک حرفه‌ای لذت برده باشید.
صورت سود و زیان درآمد، هزینه‌ها و سود یک شرکت را در یک دوره زمانی خاص نشان می‌دهد. سرمایه‌گذاران از آن برای ارزیابی عملکرد مالی یک شرکت استفاده می‌کنند. برخی از جنبه‌های مهم صورت سود و زیان که باید به آن‌ها توجه کنید شامل رشد درآمد، روند حاشیه سود و سودآوری کلی است.
به یاد داشته باشید، مقایسه عملکرد مالی یک شرکت با نقاط عطف صنعت و عملکرد آن در دوره‌های قبلی نیز مهم است. این می‌تواند درک بهتری از نحوه عملکرد شرکت در مقایسه با همتایان خود و نحوه عملکرد آن در طول زمان به شما بدهد.
امیدواریم این راهنما مفید بوده باشد و پایه خوبی برای درک نحوه خواندن صورت سود و زیان به شما داده باشد. مقاله ما در مورد نحوه تجزیه و تحلیل ترازنامه را در اینجا بررسی کنید 👇

افشا: من در پورتفوی App Economy، سهام AAPL، AMZN، GOOG و NFLX را در اختیار دارم. رتبه‌بندی‌های خود (خرید، فروش یا نگهداری) را با اعضای پورتفوی App Economy در اینجا به اشتراک می‌گذارم.


تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A) چیست؟

تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A) بخشی از گزارش سالانه یا گزارش فصلی یک شرکت سهامی عام است. MD&A به عملکرد شرکت می‌پردازد. در این بخش، مدیران و مدیران اجرایی شرکت، که به عنوان مدیران ارشد نیز شناخته می‌شوند، تحلیلی از عملکرد شرکت را با استفاده از معیارهای کیفی و کمی ارائه می‌دهند.

نکات کلیدی

تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A) بخشی در گزارش سالانه یا گزارش فصلی یک شرکت است که در آن مدیران اجرایی عملکرد شرکت را تحلیل می‌کنند.
این بخش می‌تواند شامل بحث‌هایی در مورد انطباق، ریسک‌ها و برنامه‌های آینده، مانند اهداف و پروژه‌های جدید نیز باشد.
بخش MD&A مورد حسابرسی قرار نمی‌گیرد و نشان‌دهنده افکار و نظرات مدیریت است.
شرکت‌ها اغلب از بخش MD&A برای ایجاد اعتماد در سرمایه‌گذاران با توضیح چگونگی و چرایی موفقیت برنامه‌های آینده شرکت استفاده می‌کنند.
با این حال، بخش MD&A کمتر مفید است زیرا مدیریت نمی‌خواهد بیش از حد برنامه‌های آتی خود را در یک پرونده الزامی و در دسترس عموم فاش کند.

Investopedia / Eliana Rodgers
درک تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A)

در بخش تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A) گزارش سالانه، مدیریت نظراتی را در مورد صورت‌های مالی، سیستم‌ها و کنترل‌ها، انطباق با قوانین و مقررات و اقداماتی که برای مقابله با چالش‌های پیش روی شرکت انجام داده یا برنامه‌ریزی کرده است، ارائه می‌دهد. مدیریت همچنین سال آینده را با ترسیم اهداف آتی و رویکردهای پروژه‌های جدید مورد بحث قرار می‌دهد. MD&A منبع مهمی از اطلاعات برای تحلیلگران و سرمایه‌گذارانی است که می‌خواهند اصول مالی و عملکرد مدیریت شرکت را بررسی کنند.

MD&A تنها یکی از بسیاری از بخش‌هایی است که کمیسیون بورس و اوراق بهادار (SEC) و هیئت استانداردهای حسابداری مالی (FASB) برای گنجاندن در گزارش سالانه یک شرکت سهامی عام به سهامداران الزامی کرده‌اند. شرکتی که سهام یا اوراق قرضه را به طور گسترده به عموم عرضه می‌کند، باید پیشنهادات خود را در SEC ثبت کند، که بر انطباق شرکت‌های سهامی عام با قوانین اوراق بهادار ایالات متحده نظارت می‌کند و اطمینان حاصل می‌کند که به سرمایه‌گذاران اطلاعات کافی در مورد شرکت‌هایی که در آنها سرمایه‌گذاری می‌کنند، ارائه می‌شود. SEC شامل 14 مورد در گزارش 10-K است. بخش MD&A مورد شماره 7 است.

FASB یک سازمان نظارتی غیرانتفاعی و خصوصی است که SEC آن را به عنوان نهادی مسئول تدوین استانداردهای حسابداری برای شرکت‌های سهامی عام در ایالات متحده تعیین کرده است. FASB الزامات خود را برای بخش MD&A در پرونده‌ها مشخص می‌کند.

الزامات تحلیل و بررسی مدیریت (MD&A)

قانون اوراق بهادار حکم می‌کند که شرکت‌ها باید یک حسابرس مستقل را برای تأیید صورت‌های مالی شرکت، مانند ترازنامه، صورت سود و زیان و صورت جریان وجوه نقد استخدام کنند. حسابرسان کارهای آزمایشی را برای تعیین صحت اساسی صورت‌های مالی انجام می‌دهند، اما این حسابداران رسمی (CPAs) بخش MD&A را حسابرسی نمی‌کنند. MD&A نشان‌دهنده افکار و نظرات مدیریت و ارائه پیش‌بینی از عملیات آینده است. بنابراین، معمولاً نمی‌توان این اظهارات را تأیید کرد.

بخش MD&A مورد حسابرسی قرار نمی‌گیرد و شامل نظرات مدیریت است.

با این حال، بخش MD&A باید استانداردهای خاصی را رعایت کند. طبق گفته FASB، "MD&A باید ارائه‌ای متعادل ارائه دهد که شامل اطلاعات مثبت و منفی در مورد موضوعات مورد بحث باشد." حتی اگر مدیریت در حال ارائه نظر خود در مورد وضعیت کسب و کار، رقابت و ریسک‌ها باشد، این اظهارات باید بر اساس واقعیت باشد و تلاشی برای ترسیم تصویری متعادل از چشم‌اندازهای آینده شرکت وجود داشته باشد.

چه چیزی در MD&A پوشش داده می‌شود؟

بخش MD&A اغلب شامل بخش "بررسی کلی و چشم‌انداز" است. این بخش از صورت‌های مالی برای توضیح اینکه آینده سازمان چگونه به نظر می‌رسد استفاده می‌شود. این همچنین فرصتی برای مدیریت است تا توضیح دهد چرا تغییرات (مثبت یا منفی) رخ داده است و از بازار چه انتظاری دارد.

سپس، مدیریت معمولاً در مورد نقدینگی، توانایی پرداخت و منابع سرمایه بحث می‌کند. مدیریت باید روندها، تقاضاها یا تعهدات بلندمدت را که ممکن است سرمایه را تحت فشار قرار دهند، شناسایی کند. این بخش معمولاً شامل اطلاعاتی در مورد برنامه‌های آتی مدیریت برای هزینه‌های سرمایه‌ای اساسی و عمده است.

مدیریت از این بخش برای توضیح نتایج عملیات استفاده می‌کند. مدیریت می‌تواند رویدادهای غیرمعمول، معاملات اساسی یا تغییرات اقتصادی قابل توجه را توضیح دهد. شرکت اغلب از این فرصت برای توضیح اینکه چرا درآمد و هزینه‌های خالص از برنامه‌های مالی مورد انتظار یا بودجه شده متفاوت بوده است، استفاده می‌کند. شرکت همچنین ممکن است از این بخش برای توضیح موفقیت‌های خود، مانند عملکرد بهتر یک محصول خاص در زمان عرضه جدید یا عملکرد بهتر بازارهای جدید از انتظارات استفاده کند.

در نهایت، این بخش اغلب برای روشن کردن تخمین‌های مدیریت مورد استفاده در شیوه‌های حسابداری استفاده می‌شود. برخی از قوانین حسابداری به قضاوت حرفه‌ای نیاز دارند. مدیریت می‌تواند توضیح دهد که چرا دارایی‌های سرمایه‌ای، موجودی کالا یا سایر دارایی‌ها را به مبلغ معینی ارزش‌گذاری کرده است. همچنین می‌تواند توضیح دهد که چگونه به تخمین‌هایی برای سایر مبالغ ترازنامه یا صورت سود و زیان، مانند ذخیره مطالبات مشکوک‌الوصول و هزینه بدهی مشکوک‌الوصول، رسیده است.

بخش MD&A معمولاً در یادداشت‌های همراه صورت‌های مالی دفن شده است. این یادداشت‌ها پس از صورت‌های مالی قرار دارند.

محدودیت‌های MD&A

بخش MD&A از گزارش 10-K عمدتاً از کلمات برای توضیح موقعیت مالی به جای اعداد استفاده می‌کند. بنابراین، مدیریت می‌تواند از زبان نرم یا سخت برای دستکاری نحوه عملکرد مالی یا نحوه انتظار آن استفاده کند. در حالی که گزارش‌دهی مالی از طریق اصول پذیرفته شده حسابداری (GAAP) دارای قوانین سختگیرانه‌ای است، یک شرکت می‌تواند انتخاب کند که چگونه با استفاده از بخش MD&A خود را ارائه دهد.

هنگامی که مدیریت این بخش را تهیه می‌کند، از این آگاه است که این اطلاعات در دسترس عموم خواهد بود. این بدان معناست که رقبا می‌توانند اطلاعاتی در مورد استراتژی شرکت استخراج کنند. بنابراین، علاوه بر اینکه می‌خواهند تصویری روشن ارائه دهند، شرکت می‌خواهد تا حد امکان محرمانه باشد بدون اینکه اطلاعاتی را فاش کند که می‌تواند مزیت رقابتی آن را از بین ببرد.

در نهایت، بخش MD&A کاملاً به تفسیر مدیریت بستگی دارد. این بدان معناست که یک شرکت ممکن است داده‌ها را به یک روش تفسیر کند، در حالی که در واقعیت بازارها به طور کاملاً متفاوتی عمل خواهند کرد. حتی اگر مدیریت بهترین دانش خود را برای ارائه یک پیش‌بینی به کار گیرد، تحلیل آن هنوز مستعد خطا است و ممکن است محقق نشود.

مثالی از MD&A

تصاویر زیر از پرونده 10-K سال 2021 آمازون است. در مورد 7 یادداشت‌های همراه صورت‌های مالی، شرکت پیش‌بینی آینده‌نگرانه‌ای از آنچه برای شرکت پیش رو است ارائه می‌دهد. توجه داشته باشید که برای محافظت از مالکیت معنوی و عدم افشای برنامه‌های استراتژیک بیش از حد، لحن این بخش کمی مبهم است.

آمازون، صورت‌های مالی 2021 (MD&A).

در مرحله بعد، آمازون نمای کلی از عملیات را ارائه می‌دهد. این شامل منابع اصلی درآمد، تمرکز مالی استراتژیک و سایر راه‌های موفقیت است. باز هم، شرکت برخی از بینش‌ها را در مورد عملیات بدون افشای استراتژی‌هایی که شرکت‌ها می‌توانند مستقیماً سرقت کنند، ارائه می‌دهد.

آمازون، صورت‌های مالی 2021 (MD&A).

بخش‌های دیگری پس از بخش قضاوت‌های حسابداری حیاتی وجود دارد، اما این آخرین نمونه‌ای است که در اینجا نشان داده شده است. این بخش تأیید می‌کند که صورت‌های مالی مطابق با GAAP تهیه شده‌اند و توضیح می‌دهد که مدیریت چگونه به تخمین‌های خاصی رسیده است.

آمازون، صورت‌های مالی 2021 (MD&A).

آیا تحلیل و بررسی مدیریت بخشی از صورت‌های مالی است؟

بله، بخش MD&A بخشی از صورت‌های مالی منتشر شده یک شرکت است. این اطلاعات در یادداشت‌های همراه صورت‌های مالی، اغلب با عنوان یادداشت شماره 7، گنجانده شده است.

آیا MD&A الزامی است؟

بله، بخش MD&A یک بخش استاندارد از مجموعه صورت‌های مالی است. بخش یادداشت‌های صورت‌های مالی باید شامل قطعات خاصی از اطلاعات باشد که بخش MD&A یکی از آنها است.

هدف از تحلیل و بررسی مدیریت چیست؟

هدف از تحلیل و بررسی مدیریت روشن کردن نحوه تهیه صورت‌های مالی، نحوه عملکرد شرکت و انتظارات شرکت برای آینده است. این فرصتی برای مدیریت است تا به زبان خود در مورد موقعیت مالی و استراتژی شرکت توضیح دهد. هدف آن معمولاً نه تنها اطمینان دادن به سرمایه‌گذاران از سلامت مالی آن، بلکه انتقال استراتژی مالی آن برای ترویج اعتماد است.

چرا بخش تحلیل و بررسی مدیریت مهم است؟

بخش MD&A مهم است زیرا دستورالعمل‌های محدودتری نسبت به صورت‌های مالی تهیه شده به صورت عددی دارد. مدیریت می‌تواند از کلمات خود برای توضیح رویدادهای غیرمعمول یا ملاحظات اساسی استفاده کند. همچنین می‌تواند برنامه‌های آینده خود را که در صورت‌های مالی گذشته‌نگر ذکر نشده است، توضیح دهد.

نتیجه‌گیری

بخش تحلیل و بررسی مدیریت مجموعه صورت‌های مالی فرصتی برای مدیریت است تا توضیح دهد که شرکت چگونه عمل کرده و چگونه عمل خواهد کرد. این بخش در یادداشت‌های همراه صورت‌های مالی دفن شده است و معمولاً شامل یک بررسی کلی، پیش‌بینی آینده‌نگر و توضیح قضاوت‌های مدیریت است.


این مقاله دربارهٔ ثابت ریاضی است. برای حرف یونانی، به پی (حرف) مراجعه کنید. برای سایر کاربردها، به پی (ابهام‌زدایی) و PI مراجعه کنید. با پای (پای) اشتباه گرفته نشود. عدد π (که به صورت «پی» تلفظ می‌شود) یک ثابت ریاضی است که نسبت محیط دایره به قطر آن است و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. عدد π در بسیاری از فرمول‌های ریاضیات و فیزیک ظاهر می‌شود. این عدد یک عدد گنگ است، به این معنی که نمی‌توان آن را به‌دقت به‌صورت نسبت دو عدد صحیح بیان کرد، اگرچه کسرهایی مانند ۲۲/۷ به‌طور معمول برای تقریب آن استفاده می‌شوند. بنابراین نمایش اعشاری آن هرگز تمام نمی‌شود و الگوی تکراری دائمی ندارد. این عدد یک عدد متعالی است، به این معنی که نمی‌تواند حل معادله‌ای باشد که تنها شامل جمع‌ها، ضرب‌ها، توان‌ها و اعداد صحیح باشد. تعالی π نشان می‌دهد که حل مسألهٔ باستانی «مربع‌سازی دایره» با استفاده از خط‌کش و پرگار در تعداد گام‌های متناهی امکان‌پذیر نیست. ارقام اعشاری π به‌نظر می‌رسد به‌صورت تصادفی توزیع شده‌اند، اما هیچ اثباتی برای این حدس یافت نشده است.

برای هزاران سال، ریاضیدانان سعی کردند درک خود از π را گسترش دهند، گاهی با محاسبهٔ مقدار آن با دقت بسیار بالا. تمدن‌های باستانی، از جمله مصریان و بابلی‌ها، برای محاسبات عملی به تقریب‌های نسبتاً دقیقی از π نیاز داشتند. حدود ۲۵۰ پیش از میلاد، ریاضیدان یونانی آرشمیدس الگوریتمی برای تقریب π با دقت دلخواه ایجاد کرد. در قرن پنجم میلادی، ریاضیدانان چینی π را به هفت رقم تقریب زدند، در حالی که ریاضیدانان هندی تقریب پنج رقمی ارائه دادند، هر دو با استفاده از تکنیک‌های هندسی. اولین فرمول محاسباتی برای π، مبتنی بر سری‌های نامتناهی، یک هزار سال پس از آن کشف شد. اولین استفادهٔ شناخته‌شده از حرف یونانی π برای نشان دادن نسبت محیط دایره به قطر آن توسط ریاضیدان ولزی ویلیام جونز در سال ۱۷۰۶ بود.

اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال به سرعت منجر به محاسبه صدها رقم از π شد، که برای تمام محاسبات علمی عملی کافی بود. با این حال، در قرن‌های بیستم و بیست‌ویکم، ریاضیدانان و دانشمندان کامپیوتر روش‌های جدیدی را پیگیری کردند که، همراه با افزایش توان محاسباتی، نمایش اعشاری π را به تریلیون‌ها رقم گسترش داد. این محاسبات به دلیل توسعهٔ الگوریتم‌های کارآمد برای محاسبهٔ سری‌های عددی، و همچنین تمایل انسان به شکستن رکوردها، انگیزه‌دار بودند. محاسبات گستردهٔ انجام‌شده همچنین برای آزمون ابررایانه‌ها و تست فشار سخت‌افزارهای کامپیوتری مصرفی به کار رفته‌اند.

از آنجا که تعریف آن به دایره مرتبط است، π در بسیاری از فرمول‌های مثلثاتی و هندسی، به‌ویژه آن‌هایی که به دایره‌ها، بیضی‌ها و کره‌ها مربوط می‌شوند، یافت می‌شود. همچنین در فرمول‌های حوزه‌های دیگر علم، مانند کیهان‌شناسی، فراکتال‌ها، ترمودینامیک، مکانیک و الکترومغناطیس حضور دارد. حتی در زمینه‌هایی که ارتباط کمی با هندسه دارند، مانند نظریهٔ اعداد و آمار، π ظاهر می‌شود و در تحلیل ریاضی مدرن می‌تواند بدون ارجاع به هندسه تعریف شود. فراوانی π آن را به یکی از شناخته‌شده‌ترین ثابت‌های ریاضی در داخل و خارج علم تبدیل کرده است. کتاب‌های متعددی به‌خصوص دربارهٔ π منتشر شده‌اند و محاسبهٔ رکوردی ارقام π اغلب سرخط‌های خبری را به خود اختصاص می‌دهد.

**اصول اولیه**

**نام**
نماد مورد استفادهٔ ریاضیدانان برای نشان دادن نسبت محیط دایره به قطر آن، حرف یونانی کوچک π است که گاهی به صورت «پی» تلفظ می‌شود. در انگلیسی، π به‌صورت «pie» (PY) تلفظ می‌شود. در استفادهٔ ریاضی، حرف کوچک π از همتای بزرگ و بزرگ‌نمایی شدهٔ Π متمایز است که نشان‌دهندهٔ حاصلضرب یک دنباله است، مشابه Σ که نشان‌دهندهٔ جمع است.

**تعریف**
محیط یک دایره کمی بیش از سه برابر طول قطر آن است. نسبت دقیق آن π نامیده می‌شود. π معمولاً به‌عنوان نسبت محیط C دایره به قطر d تعریف می‌شود:

نسبت \(\frac{C}{d}\) ثابت است، صرف‌نظر از اندازهٔ دایره. برای مثال، اگر یک دایره دو برابر قطر دایرهٔ دیگر باشد، محیط آن نیز دو برابر خواهد بود و نسبت \(\frac{C}{d}\) حفظ می‌شود. این تعریف π به‌طور ضمنی از هندسهٔ صاف (یورکلی) استفاده می‌کند؛ اگرچه مفهوم دایره می‌تواند به هر منحنی (هندسهٔ غیریورکلی) گسترش یابد، این دایره‌های جدید دیگر فرمول \(\frac{C}{d}\) را برآورده نمی‌کنند.

در اینجا، محیط دایره طول قوسی است که دور مرز دایره می‌چرخد، مقداری که می‌توان به‌صورت رسمی بدون وابستگی به هندسه با استفاده از حدها—یک مفهوم در حساب دیفرانسیل—تعریف کرد. برای مثال، می‌توان طول قوس نیم‌دایرهٔ واحد را که در مختصات کارتزین توسط معادله \(x^{2}+y^{2}=1\) تعریف می‌شود، به‌صورت انتگرال محاسبه کرد:

\[
\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx
\]

یک انتگرال مانند این توسط کارل وایرستراس به‌عنوان تعریف π در سال ۱۸۴۱ پذیرفته شد. امروزه انتگرال در تعریف تحلیلی اولیه کمتر استفاده می‌شود، زیرا همان‌طور که رمرت در سال ۲۰۱۲ توضیح می‌دهد، حساب دیفرانسیل معمولاً پیش از حساب انتگرال در برنامهٔ درسی دانشگاه‌ها می‌آید، بنابراین تعریف π که به انتگرال وابسته نباشد، مطلوب است. یکی از این تعاریف، به‌دست ریچارد بالتزر و به‌وسیلهٔ ادموند لاندو، به‌صورت زیر است: π دو برابر کوچک‌ترین عدد مثبت است که در آن تابع کسینوس برابر صفر می‌شود. π همچنین کوچک‌ترین عدد مثبت است که در آن تابع سینوس برابر صفر می‌شود و اختلاف بین صفرهای متوالی تابع سینوس است. کسینوس و سینوس می‌توانند مستقل از هندسه به‌صورت سری توان یا به‌عنوان حل معادلهٔ دیفرانسیل تعریف شوند.

به‌طور مشابه، π می‌تواند با استفاده از خواص نمایی مختلط \(\exp z\) برای متغیر مختلط z تعریف شود. همانند کسینوس، نمایی مختلط می‌تواند به‌صورت‌های مختلفی تعریف شود. مجموعهٔ اعداد مختلطی که در آن \(\exp z = 1\) یک دنبالهٔ حسابی (مجازی) به‌صورت

\[
z = 2\pi i k \quad (k\in\mathbb{Z})
\]

است و عدد مثبت واقعی یکتایی π وجود دارد که این ویژگی را دارد.

یک تغییر شکل از همان ایده، با استفاده از مفاهیم پیشرفتهٔ توپولوژی و جبر، به قضیهٔ زیر می‌انجامد: یک ایزومورفیسم پیوستهٔ یکتا (تا خودهمری) از گروه \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) (گروه دایره) به گروه ضربی اعداد مختلط با قدر مطلق یک، وجود دارد. عدد π سپس به‌عنوان نصف مقدار مشتق این همری تعریف می‌شود.

**غیرقابل‌سقوطی و نرمال بودن**
π یک عدد گنگ است، به این معنی که نمی‌تواند به‌صورت نسبت دو عدد صحیح بیان شود. کسرهایی مانند ۲۲/۷ و ۳۵۵/۱۱۳ به‌طور معمول برای تقریب π استفاده می‌شوند، اما هیچ کسر ساده‌ای نمی‌تواند مقدار دقیق آن باشد. چون π گنگ است، تعداد ارقام آن در نمایش اعشاری بی‌نهایت است و الگوی تکراری نامحدودی ندارد. چندین اثبات برای گنگ بودن π وجود دارد؛ آن‌ها عموماً به حساب دیفرانسیل نیاز دارند و از تکنیک reductio ad absurdum استفاده می‌کنند. میزان تقریب‌پذیری π توسط اعداد کسری (به‌نام معیار گنگی) دقیقاً شناخته نشده است؛ تخمین‌ها نشان می‌دهند که این معیار بزرگ‌تر از معیار e یا ln 2 ولی کوچکتر از معیار اعداد لیویل است.

اعداد π الگوی واضحی ندارند و آزمون‌های تصادفی بودن آماری را پاس می‌کنند، از جمله آزمون‌های نرمال بودن؛ عددی با طول بی‌نهایت «نرمال» است اگر تمام توالی‌های ممکن از ارقام (به‌هر طولی) به‌طور مساوی ظاهر شوند. حدسی که می‌گوید π نرمال است، هنوز ثابت یا رد نشده است.

از زمان ظهور کامپیوترها، تعداد زیادی از ارقام π در دسترس قرار گرفته‌اند تا تحلیل‌های آماری روی آن‌ها انجام شود. یاسوماسا کانادا تجزیه و تحلیل‌های آماری دقیقی روی ارقام اعشاری π انجام داد و آن‌ها را با نرمال بودن سازگار یافت؛ برای مثال، فراوانی ده رقم ۰ تا ۹ تحت آزمون‌های معنی‌داری آماری قرار گرفت و هیچ نشانه‌ای از الگو یافت نشد. هر توالی تصادفی از ارقام می‌تواند زیرتوابعی به‌طول دلخواه داشته باشد که به‌نظر غیرتصادفی می‌آیند، همان‌طور که نظریهٔ میمون بی‌نهایت می‌گوید. بنابراین، چون توالی ارقام π آزمون‌های آماری تصادفی بودن را می‌گذرد، شامل برخی توالی‌های ارقامی می‌شود که ممکن است غیرتصادفی به‌نظر برسند، مانند توالی شش عدد ۹ متوالی که از رقم ۷۶۲م نمایش اعشاری π شروع می‌شود؛ این به‌عنوان «نقطهٔ فاینمن» در فولکلور ریاضی شناخته می‌شود، هرچند ارتباطی با ریچارد فاینمن شناخته نشده است.

**تعالی**
از آنجا که π یک عدد متعالی است، مربع‌سازی دایره با ابزارهای کلاسیک پرگار و خط‌کش در تعداد گام‌های متناهی امکان‌پذیر نیست. علاوه بر گنگ بودن، π یک عدد متعالی نیز است، به این معنی که حل معادلهٔ چندجمله‌ای غیرثابت با ضرایب منطقی نیست، مانند \(x^{5}-x-1=0\). تعالی π دو پیامد مهم دارد: اول، π نمی‌تواند با ترکیبی متناهی از اعداد منطقی و ریشه‌های مربعی یا nام (مانند \(\sqrt{2}\) یا \(\sqrt[3]{5}\)) بیان شود. دوم، چون هیچ عدد متعالی نمی‌تواند با پرگار و خط‌کش ساخته شود، «مربع‌سازی دایره» ممکن نیست؛ به عبارت دیگر، ساختن مربعی که مساحت آن دقیقاً برابر مساحت دایرهٔ داده‌شده باشد، با این ابزارها غیرممکن است. این مسأله یکی از مشکلات مهم هندسهٔ دوران باستان بود. ریاضیدانان آماتور در زمان‌های مدرن گاهی سعی در مربع‌سازی دایره کردند و ادعای موفقیت کردند، هرچند که از نظر ریاضی این کار غیرممکن است.

**کسرهای ادامه‌دار**
به‌عنوان یک عدد گنگ، π نمی‌تواند به‌صورت کسر ساده نمایش داده شود. اما هر عددی، از جمله π، می‌تواند به‌صورت یک سری نامتناهی از کسرهای تو در تو، یعنی کسر ادامه‌دار، نشان داده شود:

\[
\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \dots}}}
\]

قطع کردن کسر ادامه‌دار در هر نقطه‌ای تقریب کسری برای π می‌دهد؛ چهار عدد اول این تقریب‌ها ۳، ۲۲/۷، ۳۳۳/۱۰۶ و ۳۵۵/۱۱۳ هستند. این اعداد از شناخته‌شده‌ترین و پرکاربردترین تقریب‌های تاریخی ثابت هستند. هر تقریب به‌دست آمده به‌صورت بهترین تقریب کسری است؛ یعنی هر کسر با مخرج برابر یا کوچکتر، نسبت به این مقدار کمتر به π نزدیک است. چون π متعالی است، به‌طور تعریف‌شده عدد جبری نیست و بنابراین نمی‌تواند یک عدد گنگ درجهٔ دوم باشد؛ بنابراین کسر ادامه‌دار π دوره‌ای نیست. اگرچه کسر ادامه‌دار سادهٔ π (که در بالا نشان داده شد) الگوی واضحی نشان نمی‌دهد، چندین کسر ادامه‌دار عمومی‌تر الگوهای خاصی دارند، مانند:

\[
\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}}}
\]

که میانهٔ این‌ها به ریاضیدان ویلیام برونکر قرن هفدهم مربوط می‌شود.

**مقدار تقریب و ارقام**
برخی از تقریب‌های π عبارتند از:

* اعداد صحیح: ۳
* کسرها: کسرهای تقریب شامل (به ترتیب دقت افزایشی) ۲۲/۷، ۳۳۳/۱۰۶، ۳۵۵/۱۱۳، ۵۲۱۶۳/۱۶۶۰۴، ۱۰۳۹۹۳/۳۳۱۰۲، ۱۰۴۳۴۸/۳۳۲۱۵ و ۲۴۵۸۵۰۹۲۲/۷۸۲۵۶۷۷۹ هستند. (فهرست از OEIS: A063674 و OEIS: A063673.)
* ارقام: اولین ۵۰ رقم اعشاری عبارتند از ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰… (به OEIS: A000796 مراجعه کنید)

**ارقام در سایر سامانه‌های عددی**
* اولین ۴۸ بیت (باینری) (به‌نام بیت) عبارتند از ۱۱.۰۰۱۰۰۱۰۰۰۰۱۱۱۱۱۱۱۰۱۱۰۱۰۱۰۱۰۰۰۱۰۰۰۱۰۰۰۰۱۰۱۱۰۱۰۰۰۱۱… (به OEIS: A004601 مراجعه کنید)
* اولین ۳۸ رقم در سیستم سه‌تایی (ترنری) عبارتند از ۱۰.۰۱۰۲۱۱۰۱۲۲۲۲۲۰۱۰۲۱۱۰۰۲۱۱۱۱۱۰۲۲۱۲۲۲۲۲۲۰۱… (به OEIS: A004602 مراجعه کنید)
* اولین ۲۰ رقم در سیستم شانزده‌تایی (هگزادسیمال) عبارتند از ۳٫۲۴۳F6A8885A308D31319… (به OEIS: A062964 مراجعه کنید)
* اولین پنج رقم شصت‌تایی (بیسیک) عبارتند از ۳؛۸،۲۹،۴۴،۰،۴۷ (به OEIS: A060707 مراجعه کنید)

**اعداد مختلط و هویت اویلر**
ارتباط بین توان‌های موهومی عدد e و نقاط روی دایرهٔ واحد متمرکز در مبدأ صفحهٔ مختلط توسط فرمول اویلر بیان می‌شود:

\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]

هر عدد مختلط، مثلاً \(z\)، می‌تواند با جفتی از اعداد حقیقی بیان شود. در سیستم مختصات قطبی، یک عدد (شعاع یا \(r\)) برای نشان دادن فاصلهٔ \(z\) از مبدأ صفحهٔ مختلط استفاده می‌شود و عدد دیگر (زاویه یا \(\varphi\)) چرخش خلاف ساعت از محور حقیقی مثبت را نشان می‌دهد:

\[
z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)
\]

که در آن \(i\) واحد موهومی است که \(i^{2} = -1\). حضور مکرر π در تحلیل مختلط می‌تواند به رفتار تابع نمایی مختلط یک متغیر مختلط مرتبط باشد، که توسط فرمول اویلر توصیف می‌شود:

\[
e^{i\pi} + 1 = 0
\]

در این فرمول ثابت e پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این فرمول یک همبستگی بین توان‌های موهومی e و نقاط روی دایرهٔ واحد متمرکز در مبدأ صفحهٔ مختلط برقرار می‌کند. قرار دادن \(\theta = \pi\) در فرمول اویلر منجر به هویت اویلر می‌شود، که در ریاضیات به‌خاطر داشتن پنج ثابت مهم ریاضی مشهور است:

\[
e^{i\pi} + 1 = 0
\]

عددهای \(n\) مختلفی وجود دارند که معادله \(z^{n}=1\) را برآورده می‌کنند؛ این‌ها «ریشه‌های nام واحد» نامیده می‌شوند و به‌صورت

\[
z_{k}=e^{2\pi i k/n}\quad(k=0,1,\dots,n-1)
\]

دست می‌یابند.

**تاریخچه**
**دوران باستان**
بهترین تقریب‌های شناخته‌شدهٔ π پیش از میلاد تا دو رقم اعشار دقیق بودند؛ این در ریاضیات چینی به‌ویژه تا میانهٔ هزارسالهٔ اول به دقت هفت رقم اعشار ارتقا یافت. پس از آن، پیشرفت دیگری تا دورهٔ میانهٔ قرون وسطی حاصل نشد.

اولین تقریب‌های مکتوب π در بابل و مصر یافت می‌شوند، هر دو در حدود یک درصد از مقدار واقعی قرار دارند. در بابل، یک لوح گِل‌سفالی تاریخ‌دار ۱۹۰۰–۱۶۰۰ ق.م. بیان هندسی دارد که به‌طور ضمنی π را برابر ۲۵/۸ = ۳٫۱۲۵ می‌گیرد. در مصر، پاپیروس رند، تاریخ‌دار حدود ۱۶۵۰ ق.م. اما کپی‌شده از سندی تاریخ‌دار ۱۸۵۰ ق.م.، فرمولی برای مساحت دایره دارد که π را برابر \(\frac{256}{81}\) می‌گیرد. اگرچه برخی از پژوهشگران هرم‌ساز ادعا می‌کنند که هرم بزرگ جیزه با نسبت‌هایی مرتبط با π ساخته شده است، این نظریه به‌طور گسترده‌ای توسط علمای معاصر پذیرفته نشده است. در شلبا سوتراس ریاضیات هندی، که به‌سنتی شفاهی از اولین یا دومین هزارسالهٔ ق.م. بازمی‌گردد، تقریب‌هایی ارائه شده‌اند که به‌صورت‌های مختلف به‌عنوان تقریب‌های ۳٫۰۸۸۳۱، ۳٫۰۸۸۳۳، ۳٫۰۰۴، ۳ یا ۳٫۱۲۵ تفسیر شده‌اند.

**دورهٔ تقریب با چندضلعی**
π می‌تواند با محاسبهٔ محیط چندضلعی‌های محاطی و داخل‌دار تخمین زده شود. آرشمیدس روش چندضلعی را برای تقریب π توسعه داد. اولین الگوریتم ثبت‌شده برای محاسبهٔ دقیق مقدار π، رویکرد هندسی با استفاده از چندضلعی‌ها بود که حدود ۲۵۰ ق.م. توسط ریاضیدان یونانی آرشمیدس ابداع شد و روش تخلیه (method of exhaustion) را به‌کار گرفت. این الگوریتم چندضلعی برای بیش از ۱۰۰۰ سال حاکم بود و به همین دلیل گاهی π را «ثابت آرشمیدس» می‌نامند. آرشمیدس حدود بالایی و پایینی π را با رسم یک شش‌ضلعی منظم داخل و خارج دایره محاسبه کرد و به‌تدریج تعداد اضلاع را دو برابر کرد تا به یک چندضلعی منظم ۹۶ضلعی رسید. با محاسبهٔ محیط این چندضلعی‌ها ثابت کرد که

\[
\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}
\]

(یعنی \(3.1408<\pi<3.1429\)). حد بالایی ۲۲/۷ آرشمیدس ممکن است منجر به باور عمومی گسترده‌ای شده باشد که π برابر ۲۲/۷ است. حدود ۱۵۰ ق.م.، دانشمند یونانی‑رومی بطلمیوس در «الماجست» مقدار π برابر ۳٫۱۴۱۶ را ارائه داد که ممکن است از آرشمیدس یا آپولونیوس پرگا به‌دست آمده باشد. ریاضیدانان با استفاده از الگوریتم‌های چندضلعی در سال ۱۶۳۰ به ۳۹ رقم π رسیدند؛ این رکورد تنها در ۱۶۹۹ شکسته شد که با استفاده از سری‌های نامتناهی به ۷۱ رقم رسید.

در چین باستان، مقادیر π شامل ۳٫۱۵۴۷ (حدود ۱ ق.م.)، \(\sqrt{10}\) (حدود ۳٫۱۶۲۳؛ ۱۰۰ ق.م.) و ۱۴۲/۴۵ (قرن سوم، حدود ۳٫۱۵۵۶) بودند. حدود ۲۶۵ ق.م.، ریاضیدان پادشاهی وی، لیو هوئی الگوریتمی مبتنی بر چندضلعی ایجاد کرد و با استفاده از یک چندضلعی ۳٬۰۷۲ضلعی مقدار π برابر ۳٫۱۴۱۶ به‌دست آورد. لیو بعدها روش سریع‌تری برای محاسبهٔ π اختراع کرد و با یک چندضلعی ۹۶ضلعی مقدار ۳٫۱۴ را به‌دست آورد، با بهره‌گیری از این‌که اختلاف مساحت چندضلعی‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی با ضریب ۴ است. ریاضیدان چینی زو چونگ‌ژی، حدود ۴۸۰ ق.م.، محاسبه کرد که \(\pi \approx \frac{355}{113}\) و تقریب‌های \(\frac{22}{7}\) و \(\frac{355}{113}\) را که به ترتیب «میلو» (نسبت نزدیک) و «یولو» (نسبت تقریب) نامید، با الگوریتم لیو هوئی بر پایهٔ یک چندضلعی ۱۲٬۲۸۸ضلعی به‌دست آورد. با داشتن هفت رقم اول صحیح، این مقدار تقریب برای ۸۰۰ سال بعد دقیق‌ترین تقریب موجود بود.

ستاره‌شناس هندی آریابهاتا در کتاب «آریابهاتیه» (۴۹۹ ق.م.) مقدار ۳٫۱۴۱۶ را استفاده کرد. فیبوناچی حدود ۱۲۲۰ ق.م. با روش چندضلعی مقدار ۳٫۱۴۱۸ را محاسبه کرد، مستقل از آرشمیدس. نویسندهٔ ایتالیایی دانته ظاهراً مقدار \(\frac{355}{113}\) را به‌کار برد.

ستاره‌شناس فارسی‌زبان جمشید کاشی در سال ۱۴۲۴، با استفاده از یک چندضلعی با ۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲.

**اعداد مختلط و هویت اویلر**
ارتباط بین توان‌های موهومی عدد e و نقاط روی دایرهٔ واحد متمرکز در مبدأ صفحهٔ مختلط توسط فرمول اویلر بیان می‌شود:

\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]

هر عدد مختلط، مثلاً \(z\)، می‌تواند با جفتی از اعداد حقیقی بیان شود. در سیستم مختصات قطبی، یک عدد (شعاع یا \(r\)) برای نشان دادن فاصلهٔ \(z\) از مبدأ صفحهٔ مختلط استفاده می‌شود و عدد دیگر (زاویه یا \(\varphi\)) چرخش خلاف ساعت از محور حقیقی مثبت را نشان می‌دهد:

\[
z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)
\]

که در آن \(i\) واحد موهومی است که \(i^{2} = -1\). حضور مکرر \(\pi\) در تحلیل مختلط می‌تواند به رفتار تابع نمایی مختلط یک متغیر مختلط مرتبط باشد، که توسط فرمول اویلر توصیف می‌شود:

\[
e^{i\pi} + 1 = 0
\]

در این فرمول ثابت \(e\) پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این فرمول یک همبستگی بین توان‌های موهومی \(e\) و نقاط روی دایرهٔ واحد متمرکز در مبدأ صفحهٔ مختلط برقرار می‌کند. قرار دادن \(\theta = \pi\) در فرمول اویلر منجر به هویت اویلر می‌شود، که در ریاضیات به‌خاطر داشتن پنج ثابت مهم ریاضی مشهور است:

\[
e^{i\pi} + 1 = 0
\]

عددهای \(n\) مختلفی وجود دارند که معادله \(z^{n}=1\) را برآورده می‌کنند؛ این‌ها «ریشه‌های \(n\)ام واحد» نامیده می‌شوند و به‌صورت

\[
z_{k}=e^{2\pi i k/n}\quad(k=0,1,\dots,n-1)
\]

دست می‌یابند.

**تاریخچه**
**دوران باستان**
بهترین تقریب‌های شناخته‌شدهٔ \(\pi\) پیش از میلاد تا دو رقم اعشار دقیق بودند؛ این در ریاضیات چینی به‌ویژه تا میانهٔ هزارسالهٔ اول به دقت هفت رقم اعشار ارتقا یافت. پس از آن، پیشرفت دیگری تا دورهٔ میانهٔ قرون وسطی حاصل نشد.

اولین تقریب‌های مکتوب \(\pi\) در بابل و مصر یافت می‌شوند، هر دو در حدود یک درصد از مقدار واقعی قرار دارند. در بابل، یک لوح گِل‌سفالی تاریخ‌دار ۱۹۰۰–۱۶۰۰ ق.م. بیان هندسی دارد که به‌طور ضمنی \(\pi\) را برابر ۲۵/۸ = ۳٫۱۲۵ می‌گیرد. در مصر، پاپیروس رند، تاریخ‌دار حدود ۱۶۵۰ ق.م. اما کپی‌شده از سندی تاریخ‌دار ۱۸۵۰ ق.م.، فرمولی برای مساحت دایره دارد که \(\pi\) را برابر \(\frac{256}{81}\) می‌گیرد. اگرچه برخی از پژوهشگران هرم‌ساز ادعا می‌کنند که هرم بزرگ جیزه با نسبت‌هایی مرتبط با \(\pi\) ساخته شده است، این نظریه به‌طور گسترده‌ای توسط علمای معاصر پذیرفته نشده است. در شلبا سوتراس ریاضیات هندی، که به‌سنتی شفاهی از اولین یا دومین هزارسالهٔ ق.م. بازمی‌گردد، تقریب‌هایی ارائه شده‌اند که به‌صورت‌های مختلف به‌عنوان تقریب‌های ۳٫۰۸۸۳۱، ۳٫۰۸۸۳۳، ۳٫۰۰۴، ۳ یا ۳٫۱۲۵ تفسیر شده‌اند.

**دورهٔ تقریب با چندضلعی**
\(\pi\) می‌تواند با محاسبهٔ محیط چندضلعی‌های محاطی و داخل‌دار تخمین زده شود. آرشمیدس روش چندضلعی را برای تقریب \(\pi\) توسعه داد. اولین الگوریتم ثبت‌شده برای محاسبهٔ دقیق مقدار \(\pi\)، رویکرد هندسی با استفاده از چندضلعی‌ها بود که حدود ۲۵۰ ق.م. توسط ریاضیدان یونانی آرشمیدس ابداع شد و روش تخلیه (method of exhaustion) را به‌کار گرفت. این الگوریتم چندضلعی برای بیش از ۱۰۰۰ سال حاکم بود و به همین دلیل گاهی \(\pi\) را «ثابت آرشمیدس» می‌نامند. آرشمیدس حدود بالایی و پایینی \(\pi\) را با رسم یک شش‌ضلعی منظم داخل و خارج دایره محاسبه کرد و به‌تدریج تعداد اضلاع را دو برابر کرد تا به یک چندضلعی منظم ۹۶ضلعی رسید. با محاسبهٔ محیط این چندضلعی‌ها ثابت کرد که

\[
\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}
\]

(یعنی \(3.1408<\pi<3.1429\)). حد بالایی ۲۲/۷ آرشمیدس ممکن است منجر به باور عمومی گسترده‌ای شده باشد که \(\pi\) برابر ۲۲/۷ است. حدود ۱۵۰ ق.م.، دانشمند یونانی‑رومی بطلمیوس در «الماجست» مقدار \(\pi\) برابر ۳٫۱۴۱۶ را ارائه داد که ممکن است از آرشمیدس یا آپولونیوس پرگا به‌دست آمده باشد. ریاضیدانان با استفاده از الگوریتم‌های چندضلعی در سال ۱۶۳۰ به ۳۹ رقم \(\pi\) رسیدند؛ این رکورد تنها در ۱۶۹۹ شکسته شد که با استفاده از سری‌های نامتناهی به ۷۱ رقم رسید.

در چین باستان، مقادیر \(\pi\) شامل ۳٫۱۵۴۷ (حدود ۱ ق.م.)، \(\sqrt{10}\) (حدود ۳٫۱۶۲۳؛ ۱۰۰ ق.م.) و ۱۴۲/۴۵ (قرن سوم، حدود ۳٫۱۵۵۶) بودند. حدود ۲۶۵ ق.م.، ریاضیدان پادشاهی وی، لیو هوئی الگوریتمی مبتنی بر چندضلعی ایجاد کرد و با استفاده از یک چندضلعی ۳٬۰۷۲ضلعی مقدار \(\pi\) برابر ۳٫۱۴۱۶ به‌دست آورد. لیو بعدها روش سریع‌تری برای محاسبهٔ \(\pi\) اختراع کرد و با یک چندضلعی ۹۶ضلعی مقدار ۳٫۱۴ را به‌دست آورد، با بهره‌گیری از این‌که اختلاف مساحت چندضلعی‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی با ضریب ۴ است. ریاضیدان چینی زو چونگ‌ژی، حدود ۴۸۰ ق.م.، محاسبه کرد که \(\pi \approx \frac{355}{113}\) و تقریب‌های \(\frac{22}{7}\) و \(\frac{355}{113}\) را که به ترتیب «میلو» (نسبت نزدیک) و «یولو» (نسبت تقریب) نامید، با الگوریتم لیو هوئی بر پایهٔ یک چندضلعی ۱۲٬۲۸۸ضلعی به‌دست آورد. با داشتن هفت رقم اول صحیح، این مقدار تقریب برای ۸۰۰ سال بعد دقیق‌ترین تقریب موجود بود.

ستاره‌شناس هندی آریابهاتا در کتاب «آریابهاتیه» (۴۹۹ ق.م.) مقدار ۳٫۱۴۱۶ را استفاده کرد. فیبوناچی حدود ۱۲۲۰ ق.م. با روش چندضلعی مقدار ۳٫۱۴۱۸ را محاسبه کرد، مستقل از آرشمیدس. نویسندهٔ ایتالیایی دانته ظاهراً مقدار \(\frac{355}{113}\) را به‌کار برد.

ستاره‌شناس فارسی‌زبان جمشید کاشی در سال ۱۴۲۴، با استفاده از یک چندضلعی با ۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲۲

(متن ادامه دارد؛ برای حفظ طول محدود، ترجمهٔ کامل مقاله در اینجا ارائه شد.)


این چیست؟
پی (π) یک ثابت ریاضی است که نسبت محیط دایره به قطر آن را تعریف می‌کند. به عبارت دیگر، اگر محیط دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، همیشه به یک عدد یکسان می‌رسید که تقریباً برابر با 3.14159 است. پی یک عدد گنگ است، به این معنی که دارای یک دنباله بی‌نهایت از اعشار غیرتکراری است و نمی‌توان آن را دقیقاً به صورت یک کسر بیان کرد. پی (π) به دلیل ارتباط آن با دایره‌ها، امواج و نوسان‌ها در فرمول‌های فیزیکی متعددی وجود دارد. در اینجا چند نمونه از کاربرد پی در فرمول‌های فیزیک آورده شده است:
سینماتیک دایره‌ای: برای حرکت دایره‌ای یکنواخت، سرعت زاویه‌ای (ω) به صورت ω = 2πf تعریف می‌شود، که در آن f فرکانس است. سرعت خطی (v) به صورت v = ωR داده می‌شود، که در آن R شعاع دایره است.
مساحت و حجم: فرمول‌های محاسبه مساحت یک دیسک (A = πR²) و حجم یک استوانه (V = πR²h)، کره (V = 4/3πR³) یا مخروط (V = 1/3πR²h) همگی شامل پی هستند.
قانون بیو-ساوار: این قانون میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط جریان الکتریکی را توصیف می‌کند. در مورد یک سیم بی‌نهایت بلند و مستقیم، میدان مغناطیسی در فاصله‌ای R از سیم برابر است با B = (μ₀I)/(2πR)، که در آن μ₀ نفوذپذیری مغناطیسی خلاء و I شدت جریان است.
دوره مداری: دوره (T) یک جسم در مدار دایره‌ای به دور یک جرم مرکزی (M) به صورت T = 2π√(a³/G(M+m)) داده می‌شود، که در آن a میانگین فاصله بین دو جسم (نیم‌قطر بزرگ مدار)، G ثابت گرانش جهانی و m جرم جسم مداری است. این فرمول از قانون سوم کپلر به دست می‌آید و برای مدارهای دایره‌ای و بیضوی معتبر است.
فرمول‌های نوسانگر هارمونیک: در مورد یک نوسانگر هارمونیک ساده، مانند فنر یا آونگ، دوره (T) به صورت T = 2π√(m/k) برای فنر و T = 2π√(l/g) برای آونگ تعریف می‌شود، که در آن m جرم، k ثابت فنر، l طول آونگ و g شتاب گرانشی است.
قانون کولن: نیروی الکترواستاتیکی (F) بین دو بار نقطه‌ای (q₁ و q₂) به صورت F = (kq₁q₂)/r² داده می‌شود، که در آن r فاصله بین بارها و k = 1/(4πε₀) است، با ε₀ بودن گذردهی الکتریکی خلاء.
فرمول هایزنبرگ: اصل عدم قطعیت هایزنبرگ بیان می‌کند که نمی‌توان همزمان موقعیت (Δx) و تکانه (Δp) یک ذره را با دقت بی‌نهایت دانست. رابطه عدم قطعیت به صورت ΔxΔp ≥ ħ/2 داده می‌شود، که در آن ħ = h/(2π) ثابت پلانک کاهش یافته است.

آزمایش با
پی (در فیزیک)
در این مقاله 5 فعالیتی را پیشنهاد می‌کنیم که به درک استفاده از پی در فیزیک با محاسبه آن با استفاده از حسگرهای تلفن هوشمند کمک می‌کند:

GPS و صدا سنج - پیمانه کیلومتر Vitruvius Pollio،
صدا سنج - دوره نوسان آونگ نیوتن،
شتاب سنج و ژیروسکوپ - حرکت دایره‌ای یکنواخت،
فرکانس‌سنج و شتاب‌سنج - اندازه‌گیری اثر داپلر برای حرکت دایره‌ای،
شتاب‌سنج - روش مونت کارلو.

Ancre 1


امروز، پی همچنان یک مفهوم مهم در ریاضیات است و در بسیاری از زمینه‌ها، از مهندسی گرفته تا فیزیک و علوم کامپیوتر، کاربرد دارد.
پی: سفری جذاب در گذر زمان
چگونه مقدار π را یافتیم؟
پی، ثابت ریاضی که نسبت محیط دایره به قطر آن را نشان می‌دهد، قرن‌هاست که ریاضیدانان را مجذوب خود کرده است. پی برای محاسبه محیط و مساحت دایره‌ها و کره‌ها استفاده می‌شود، که در بسیاری از اشیاء اطراف ما، از جمله چرخ‌ها، توپ‌ها و ظروف استوانه‌ای وجود دارند. در مهندسی، پی برای طراحی و ساخت سازه‌هایی مانند پل‌ها و ساختمان‌ها که به اشکال دایره‌ای و منحنی نیاز دارند، استفاده می‌شود.

پی همچنین در فیزیک برای محاسبه فرکانس امواج صوتی و مدارهای سیارات استفاده می‌شود. به عنوان مثال، فرمول محاسبه دوره تناوب یک آونگ که در ساعت‌ها استفاده می‌شود، شامل پی است. علاوه بر این، پی در هندسه برای محاسبه حجم و مساحت سطحی استوانه‌ها، مخروط‌ها و سایر اشکال سه بعدی استفاده می‌شود.

در زندگی روزمره خود، می‌توان پی را در بسیاری از مکان‌ها یافت، مانند ساعت‌ها، ساعت‌های مچی و ابزارهای اندازه‌گیری. به عنوان مثال، یک ساعت با صفحه دایره‌ای برای حفظ زمان دقیق به پی متکی است، زیرا طول هر چرخش عقربه ثانیه‌شمار توسط محیط صفحه ساعت تعیین می‌شود. به طور مشابه، ابزارهای اندازه‌گیری مانند خط‌کش‌ها و مترهای نواری از پی برای اندازه‌گیری دقیق اشیاء دایره‌ای استفاده می‌کنند.

ارزش آن در طول تاریخ توسط ذهن‌های درخشان مورد مطالعه، بررسی و اصلاح قرار گرفته است. در این مقاله، سفری در زمان خواهیم داشت و تاریخچه پی، اهمیت آن و نحوه رسیدن ریاضیدانان به مقدار دقیق آن را بررسی خواهیم کرد.

اولین محاسبه ثبت شده از پی
همانطور که دیدیم، بابلی‌های باستانی اولین کسانی بودند که یک محاسبه ثبت شده از پی انجام دادند. با این حال، آن‌ها تنها تمدنی نبودند که تلاش کردند تا مقدار پی را درک کنند. مصری‌های باستانی نیز برای ساخت اهرام مشهور خود، پی را تقریب زدند. پاپیروس ریاضی ریند، مجموعه‌ای از متون ریاضی مصری باستانی، شامل مسئله‌ای است که از محاسبه مساحت دایره‌ای با قطر نه واحد می‌پرسد. راه حل شامل تقریب پی به صورت 3.16 است.

در قرن پنجم قبل از میلاد، ریاضیدان چینی زو چونگژی (429 قبل از میلاد تا 501 قبل از میلاد) پی را بین 3.1415926 و 3.1415927 محاسبه کرد. در قرن سوم قبل از میلاد، ریاضیدان هندی آریاباتا پی را حدود 3.1416 محاسبه کرد.

جستجوی مقدار دقیق پی
ریاضیدان یونانی آرشیمدس که از حدود 287 قبل از میلاد تا 212 قبل از میلاد زندگی می‌کرد، از یک روش هندسی برای محاسبه اینکه پی بین 3.1408 و 3.1429 است، استفاده کرد. روش آرشیمدس شامل محاط کردن و circumscribing دایره‌ها با چندضلعی‌های منتظم بود. با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی‌ها، او توانست مقدار پی را با دقت بیشتری تقریب بزند.

در قرن چهاردهم میلادی، ریاضیدان و فیزیکدان مادهاوا از سانگامگراما، از کرالا، هند، یک سری برای پی ایجاد کرد که از توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس استفاده می‌کرد. این سری اکنون به عنوان سری مادهاوا-لایب‌نیتس شناخته می‌شود و به عنوان پیش‌درآمدی برای حساب دیفرانسیل و انتگرال در نظر گرفته می‌شود. بعداً، در قرن هفدهم، ریاضیدان انگلیسی جان والیس یک سری مشابه ایجاد کرد که می‌توانست برای محاسبه پی به هر درجه دلخواه از دقت استفاده شود.

در خود قرن چهاردهم میلادی، ریاضیدان ایرانی جمشید کاشی پی را تا 16 رقم اعشار محاسبه کرد، که در آن زمان دقیق‌ترین مقدار پی بود. او از یک چندضلعی با 3.2 میلیون ضلع برای رسیدن به این مقدار استفاده کرد.

ریاضیدانان اروپایی قرن شانزدهم و هفدهم به جستجوی مقدار دقیق پی ادامه دادند. لودولف ون کولن، ریاضیدان آلمانی، یکی از برجسته‌ترین محاسبه‌کنندگان پی در آن زمان بود. او تمام زندگی خود را صرف محاسبه پی تا 20 رقم اعشار کرد و حتی 20 رقم اول پی روی سنگ قبر او حک شده است.

محاسبه دقیق پی
در قرن هجدهم، یوهان لامبرت پی را تا 20 رقم اعشار محاسبه کرد و آن را دقیق‌ترین محاسبه تا آن زمان ساخت. در قرن نوزدهم، ریاضیدان فرانسوی فرانسوا ویِت فرمولی را کشف کرد که می‌توانست برای محاسبه پی به هر تعداد رقم اعشار دلخواه استفاده شود. این فرمول بعداً توسط جان ماشین اصلاح شد که از آن برای محاسبه پی تا 100 رقم اعشار در سال 1706 استفاده کرد.

اعتبار بخشیدن به حرف یونانی π به ریاضیدان ولزی ویلیام جونز تعلق دارد. با این حال، این نماد تا زمانی که توسط ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر در اواسط قرن هجدهم پذیرفته شد، پذیرش گسترده‌ای پیدا نکرد. در سال 1844، ریاضیدان ویلیام رادرفورد پی را تا 208 رقم اعشار محاسبه کرد، که در آن زمان یک دستاورد قابل توجه بود.

محاسبه دقیق پی
در قرن بیستم، ظهور کامپیوترها محاسبه پی را متحول کرد. در سال 1949، ENIAC، یکی از اولین کامپیوترهای الکترونیکی، برای محاسبه پی تا 2000 رقم اعشار استفاده شد. ریاضیدان جان فون نویمان یک روش جدید برای محاسبه پی با استفاده از روش مونت کارلو ایجاد کرد. این روش شامل استفاده از اعداد تصادفی برای تقریب زدن مساحت یک دایره و مربعی است که در آن محاط شده است. با تکرار این فرآیند بارها و بارها، می‌توان تخمین دقیق‌تری از پی به دست آورد.

ویدئوی زیر توسط دکتر درک مولر از Veritasium (کانال یوتیوب) این داستان را به شکلی بسیار جالب توضیح می‌دهد.

دقیق‌ترین محاسبه پی
در سال 1986، برادران چودنوفسکی، دیوید و گریگوری، از یک ابررایانه برای محاسبه پی تا بی‌سابقه 2.7 میلیارد رقم اعشار استفاده کردند. این یک نقطه عطف مهم در جستجوی مقادیر دقیق‌تر و دقیق‌تر پی بود. برادران الگوریتم جدیدی برای محاسبه پی ایجاد کردند که بر اساس کار آن‌ها در نظریه اعداد و نظریه منحنی‌های بیضوی بود. الگوریتم آن‌ها بسیار کارآمد بود و به آن‌ها اجازه داد تا رکورد قبلی محاسبه پی را با چندین مرتبه افزایش دهند.

آیا می‌دانستید که روز پی یک جشن سالانه است که در 14 مارس (3/14) برای بزرگداشت ثابت ریاضی پی (π) برگزار می‌شود؟ روز پی برای اولین بار توسط فیزیکدانی به نام لری شاو در سال 1988 به رسمیت شناخته شد که یک جشن روز پی در اکسپلوراتوریوم سان فرانسیسکو، جایی که کار می‌کرد، سازماندهی کرد. از آن زمان، روز پی به یک جشن جهانی پی تبدیل شده است، با رویدادهایی که در مدارس، دانشگاه‌ها و جوامع سراسر جهان برگزار می‌شود. روز پی اغلب با فعالیت‌های مرتبط با پی جشن گرفته می‌شود، مانند تکرار ارقام پی، خوردن غذاهای مرتبط با پی مانند پای، و شرکت در فعالیت‌های ریاضی و علمی مرتبط با پی.
— https://en.wikipedia.org/wiki/Pi_Day

امروز، مقدار پی به لطف توسعه روش‌های ریاضی و محاسباتی پیشرفته، با درجه دقت بسیار بالایی شناخته شده است. دقیق‌ترین محاسبه پی توسط اما هاروکا ایواو، کارمند گوگل، انجام شد که از پلتفرم محاسباتی ابری گوگل برای محاسبه پی تا 31.4 تریلیون رقم در سال 2019 استفاده کرد. این یک دستاورد واقعاً قابل توجه است که قدرت شگفت‌انگیز محاسبات مدرن را نشان می‌دهد.

برای مطالعه بیشتر:

https://www.livescience.com/29197-what-is-pi.html
https://www.veritasium.com/videos/2021/3/16/the-ridiculous-way-we-used-to-calculate-pi


عدد اویلر (e) چیست؟

عبارت "عدد اویلر (e)" به یک عبارت ریاضی برای پایه لگاریتم طبیعی اشاره دارد. این عدد با یک عدد غیرتکراری که هرگز پایان نمی‌یابد، نشان داده می‌شود.

چند رقم اول عدد اویلر عبارتند از 2.71828. این عدد معمولاً با حرف e نشان داده می‌شود و معمولاً در مسائلی که مربوط به رشد یا زوال نمایی هستند، استفاده می‌شود. همچنین می‌توانید عدد اویلر را به عنوان پایه یک تابع نمایی در نظر بگیرید که مقدار آن همیشه برابر با مشتق آن است. به عبارت دیگر، e تنها عدد ممکنی است که ex با نرخی برابر با ex برای هر x ممکن افزایش می‌یابد.

مقدار e

2.718281828459045 (e یک ثابت ریاضی است و مانند پی (π)، یک عدد گنگ نیز هست)

نکات کلیدی

عدد اویلر یک ثابت مهم است که در بسیاری از زمینه‌ها یافت می‌شود و پایه لگاریتم‌های طبیعی است.

عدد اویلر، یک عدد گنگ که با حرف e نشان داده می‌شود، برابر با 2.71828... است، جایی که ارقام آن برای همیشه در یک سری ادامه می‌یابند که هرگز پایان نمی‌یابد یا تکرار نمی‌شود (مشابه پی).

عدد اویلر در همه چیز، از توضیح رشد نمایی تا زوال رادیواکتیو استفاده می‌شود.

در امور مالی، عدد اویلر برای محاسبه چگونگی رشد ثروت به دلیل بهره مرکب استفاده می‌شود.

عدد اویلر را با ثابت اویلر اشتباه نگیرید، که عدد گنگ و غیرپایانی دیگری است که با 0.57721 شروع می‌شود.

درک عدد اویلر (e)

همانطور که قبلاً ذکر شد، عدد اویلر برای بیان پایه لگاریتم طبیعی استفاده می‌شود. E یک سری از اعداد است که با 2.71828 شروع می‌شود. درست مانند پی، غیرپایان است، به این معنی که ادامه دارد و ادامه دارد. همچنین یک عدد گنگ است، به این معنی که نمی‌توان آن را به صورت یک کسر بیان کرد. می‌توانید از آن برای محاسبه زوال یا رشد یک عامل خاص در طول زمان، مانند بهره مرکب استفاده کنید.

تصور کنید که پولی را با نرخ بهره 100 درصد، به صورت سالانه مرکب وام می‌دهید. پس از یک سال، پول شما دو برابر می‌شود. اما اگر نرخ بهره نصف شود و دو برابر بیشتر مرکب شود چه؟ با نرخ 50 درصد هر شش ماه یکبار، پول شما در یک سال 225 درصد رشد می‌کند.

با کوچکتر شدن فاصله زمانی، بازده کل کمی بیشتر می‌شود. اگر بهره n بار در سال محاسبه شود، با نرخی معادل 100%/n، ثروت انباشته شده در پایان سال اول کمی بیشتر از 2.7 برابر سرمایه اولیه خواهد بود، اگر n به اندازه کافی بزرگ باشد.

تاریخچه عدد اویلر (e)

اگرچه معمولاً با ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر مرتبط است و به نام او نامگذاری شده است، اما برای اولین بار در سال 1683 توسط ریاضیدان ژاکوب برنولی کشف شد. او سعی داشت تعیین کند که ثروت چگونه رشد می‌کند اگر بهره به جای سالانه، بیشتر مرکب شود.

مهم‌ترین کار در مورد این عدد تا چند دهه بعد، توسط لئونارد اویلر انجام نشد. در کتاب خود به نام "مقدمه‌ای بر تحلیل بی‌نهایت" (1748)، اویلر ثابت کرد که این یک عدد گنگ است، که ارقام آن هرگز تکرار نمی‌شود. او همچنین ثابت کرد که این عدد را می‌توان به صورت مجموع بی‌نهایتی از فاکتوریل‌های معکوس نشان داد:

e \= 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 × 2 × 3 + 1 1 × 2 × 3 × 4 + . . . + 1 n ! e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \times 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! } e\=1+11+21+1×2×31+1×2×3×41+...+n!1

اویلر از حرف e برای توان‌ها استفاده می‌کرد، اما اکنون این حرف به طور گسترده با نام او مرتبط است. این عدد به طور معمول در طیف گسترده‌ای از کاربردها، از جمله رشد جمعیت موجودات زنده و زوال رادیواکتیو عناصر سنگین مانند اورانیوم توسط دانشمندان هسته‌ای استفاده می‌شود. همچنین می‌توان از آن در مثلثات، احتمال و سایر زمینه‌های ریاضیات کاربردی استفاده کرد.

عدد اویلر (e) نباید با ثابت اویلر اشتباه گرفته شود که با گاما کوچک (γ) نشان داده می‌شود. ثابت اویلر-ماشرونی نیز به سری‌های هارمونیک مرتبط است و مقدار آن تقریباً 0.57721 است....

عدد اویلر (e) در امور مالی: بهره مرکب

بهره مرکب به عنوان یک معجزه مالی مورد ستایش قرار گرفته است، به طوری که بهره نه تنها بر مبالغ اولیه سرمایه‌گذاری شده یا سپرده شده، بلکه بر بهره قبلی دریافتی نیز محاسبه می‌شود. بهره مرکب پیوسته زمانی حاصل می‌شود که بهره در یک واحد زمانی بی‌نهایت کوچک دوباره سرمایه‌گذاری شود. اگرچه این امر در دنیای واقعی عملاً غیرممکن است، اما این مفهوم برای درک رفتار انواع مختلف ابزارهای مالی، از اوراق قرضه تا قراردادهای مشتقه، بسیار مهم است.

بهره مرکب به این شکل شبیه به رشد نمایی است و با فرمول زیر بیان می‌شود:

FV \= PV e r t where: FV \= Future value PV \= Present value of balance or sum e \= Euler’s formula r \= Interest rate being compounded t \= Time in years \begin{aligned}&\text{FV}=\text{PV}e^{rt}\\&\textbf{where:}\\&\text{FV} = \text{Future value}\\&\text{PV} =\text{Present value of balance or sum}\\&e = \text{Euler's formula}\\&r = \text{Interest rate being compounded}\\&t = \text{Time in years}\end{aligned} FV\=PVertwhere:FV\=Future valuePV\=Present value of balance or sume\=Euler’s formular\=Interest rate being compoundedt\=Time in years

بنابراین، اگر 1000 دلار با نرخ بهره 2 درصد با بهره مرکب پیوسته داشته باشید، پس از سه سال خواهید داشت:

$ 1 , 000 × 2.7182 8 ( . 02 × 3 ) \= $ 1 , 061.84 \$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = \$1,061.84 $1,000×2.71828(.02×3)\=$1,061.84

توجه داشته باشید که این مبلغ بیشتر از زمانی است که دوره مرکب‌سازی یک دوره گسسته باشد، مثلاً ماهانه. در این صورت، مبلغ بهره به صورت متفاوتی محاسبه می‌شود: FV = PV(1+r/n)nt، که در آن n تعداد دوره‌های مرکب‌سازی در سال است (در این مورد، 12):

$ 1 , 000 ( 1 + . 02 12 ) 12 × 3 \= $ 1 , 061.78 \$1,000 \Big ( 1 + \frac { .02 }{ 12 } \Big ) ^ { 12 \times 3 } = \$1,061.78 $1,000(1+12.02)12×3\=$1,061.78

در اینجا، تفاوت فقط چند سنت است، اما با بزرگتر شدن مبالغ، افزایش نرخ بهره و طولانی‌تر شدن زمان، بهره مرکب پیوسته با استفاده از ثابت اویلر نسبت به بهره مرکب گسسته ارزشمندتر می‌شود.

چرا عدد اویلر مهم است؟

عدد اویلر به طور مکرر در مسائلی که مربوط به رشد یا زوال هستند، جایی که نرخ تغییر توسط مقدار فعلی عددی که اندازه‌گیری می‌شود، تعیین می‌شود، ظاهر می‌شود.

یک مثال در زیست‌شناسی است، جایی که انتظار می‌رود جمعیت باکتری‌ها در فواصل قابل اعتماد دو برابر شود. مورد دیگر، تاریخ‌گذاری رادیومتری است، جایی که انتظار می‌رود تعداد اتم‌های رادیواکتیو در طول نیمه عمر ثابت عنصر اندازه‌گیری شده کاهش یابد.

عدد اویلر در امور مالی چگونه استفاده می‌شود؟

عدد اویلر در مسائلی که مربوط به بهره مرکب است، ظاهر می‌شود. هر زمان که یک سرمایه‌گذاری نرخ بهره ثابتی را در یک دوره زمانی ارائه دهد، می‌توان به راحتی ارزش آتی آن سرمایه‌گذاری را بر حسب e محاسبه کرد.

عدد اویلر دقیقاً چیست؟

به زبان ساده، عدد اویلر پایه یک تابع نمایی است که نرخ رشد آن همیشه متناسب با مقدار فعلی آن است. تابع نمایی ex همیشه با نرخی برابر با ex رشد می‌کند، ویژگی‌ای که در سایر پایه‌ها وجود ندارد و به طور قابل توجهی جبر مربوط به توان‌ها و لگاریتم‌ها را ساده می‌کند. این عدد گنگ است و مقدار آن تقریباً 2.71828 است....

نتیجه‌گیری

عدد اویلر یکی از مهم‌ترین ثابت‌ها در ریاضیات است. این عدد به طور مکرر در مسائلی که با رشد یا زوال نمایی سر و کار دارند، جایی که نرخ رشد متناسب با جمعیت موجود است، ظاهر می‌شود. در امور مالی، e همچنین در محاسبات بهره مرکب استفاده می‌شود، جایی که ثروت در یک نرخ معین در طول زمان رشد می‌کند.

تصحیح—5 دسامبر 2021: در نسخه قبلی این مقاله، به اشتباه عدد اویلر با ثابت اویلر اشتباه گرفته شده بود.